题目
一级螺旋测微计（△=0.004mm）测小钢球的直径d，多次测量值如下：9.345mm,9.346mm,9.347mm,9.346mm.9.347mm，千分尺的零点读数为-0.006mm，试求小钢球的体积V，用标准形式写出测量结果。
一级螺旋测微计（△=0.004mm）测小钢球的直径d，多次测量值如下：9.345mm,9.346mm,9.347mm,9.346
mm.9.347mm，千分尺的零点读数为-0.006mm，试求小钢球的体积V，用标准形式写出测量结果。
题目解答
答案
直径平均值和标准偏差的数值为：
=9.3462mm
S= 0.00084mm
对螺旋测微计的初始读数所构成系统误差应予修正：
d的平均值d=9.3522mm
标准偏差S=0.00084mm
测量次数n=5，查表1得
=1.24
△=0.004mm,
≈0.004mm
所以小钢球直径的测量结果为：
mm
=0.043%
（2）再求小钢球的体积：
= 428.26 
解析
步骤 1：计算直径平均值
根据给出的多次测量值，计算直径的平均值。测量值为：9.345mm, 9.346mm, 9.347mm, 9.346mm, 9.347mm。
$$
\overline{d} = \frac{9.345 + 9.346 + 9.347 + 9.346 + 9.347}{5} = 9.3462 \text{ mm}
$$
步骤 2：计算标准偏差
计算标准偏差S，用于评估测量值的分散程度。
$$
S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(d_i - \overline{d})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(9.345-9.3462)^2 + (9.346-9.3462)^2 + (9.347-9.3462)^2 + (9.346-9.3462)^2 + (9.347-9.3462)^2}{4}} = 0.00084 \text{ mm}
$$
步骤 3：修正系统误差
千分尺的零点读数为-0.006mm，需要对测量值进行修正。
$$
d = \overline{d} + 0.006 = 9.3462 + 0.006 = 9.3522 \text{ mm}
$$
步骤 4：计算不确定度
根据测量次数n=5，查表得到t=1.24，计算不确定度。
$$
U_d = \sqrt{\left(\frac{t}{\sqrt{n}}S\right)^2 + \Delta^2} = \sqrt{\left(\frac{1.24}{\sqrt{5}} \times 0.00084\right)^2 + 0.004^2} = \sqrt{0.001^2 + 0.004^2} \approx 0.004 \text{ mm}
$$
步骤 5：计算小钢球的体积
根据直径d，计算小钢球的体积V。
$$
V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{\pi}{6}d^3 = \frac{\pi}{6} \times 9.3522^3 = 428.26 \text{ mm}^3
$$
根据给出的多次测量值，计算直径的平均值。测量值为：9.345mm, 9.346mm, 9.347mm, 9.346mm, 9.347mm。
$$
\overline{d} = \frac{9.345 + 9.346 + 9.347 + 9.346 + 9.347}{5} = 9.3462 \text{ mm}
$$
步骤 2：计算标准偏差
计算标准偏差S，用于评估测量值的分散程度。
$$
S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(d_i - \overline{d})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(9.345-9.3462)^2 + (9.346-9.3462)^2 + (9.347-9.3462)^2 + (9.346-9.3462)^2 + (9.347-9.3462)^2}{4}} = 0.00084 \text{ mm}
$$
步骤 3：修正系统误差
千分尺的零点读数为-0.006mm，需要对测量值进行修正。
$$
d = \overline{d} + 0.006 = 9.3462 + 0.006 = 9.3522 \text{ mm}
$$
步骤 4：计算不确定度
根据测量次数n=5，查表得到t=1.24，计算不确定度。
$$
U_d = \sqrt{\left(\frac{t}{\sqrt{n}}S\right)^2 + \Delta^2} = \sqrt{\left(\frac{1.24}{\sqrt{5}} \times 0.00084\right)^2 + 0.004^2} = \sqrt{0.001^2 + 0.004^2} \approx 0.004 \text{ mm}
$$
步骤 5：计算小钢球的体积
根据直径d，计算小钢球的体积V。
$$
V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{\pi}{6}d^3 = \frac{\pi}{6} \times 9.3522^3 = 428.26 \text{ mm}^3
$$