题目
假设粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： (x)=dfrac (1)(sqrt {a)}cdot cos dfrac (3pi x)(2a)(-aleqslant xleqslant a) 那么粒子出现在区间 (x)=dfrac (1)(sqrt {a)}cdot cos dfrac (3pi x)(2a)(-aleqslant xleqslant a) 的几率为______________。
假设粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： 
那么粒子出现在区间 
的几率为______________。
题目解答
答案
粒子出现在区间 
的几率，可以通过将波函数在该区间上的模长平方进行积分来计算，即：
代入波函数 
的表达式，可以得到：
利用三角恒等式
，可以将上式变为：
对上式右侧的两个积分分别进行计算，可以得到：
和
因此，可以得到粒子出现在区间 的几率为：
因此，粒子出现在区间 的几率为 
解析
步骤 1：确定波函数的模长平方
波函数的模长平方表示粒子出现在某位置的概率密度，即 $|b(x)|^2$。对于给定的波函数 $b(x)=\dfrac {1}{\sqrt {a}}\cdot \cos \dfrac {3\pi x}{2a}$，其模长平方为：
$|b(x)|^2 = \left(\dfrac {1}{\sqrt {a}}\cdot \cos \dfrac {3\pi x}{2a}\right)^2 = \dfrac {1}{a}\cos^2 \dfrac {3\pi x}{2a}$
步骤 2：计算粒子出现在区间 $[-a/6, a/6]$ 的几率
粒子出现在某区间内的几率等于波函数模长平方在该区间上的积分，即：
$P = \int_{-a/6}^{a/6} |b(x)|^2 dx = \int_{-a/6}^{a/6} \dfrac {1}{a}\cos^2 \dfrac {3\pi x}{2a} dx$
利用三角恒等式 $\cos^2 \theta = \dfrac {1+\cos (2\theta )}{2}$，可以将上式变为：
$P = \dfrac {1}{2a} \int_{-a/6}^{a/6} (1+\cos \dfrac {3\pi x}{a}) dx$
对上式右侧的两个积分分别进行计算，可以得到：
$\int_{-a/6}^{a/6} 1 dx = \dfrac {a}{3}$
和
$\int_{-a/6}^{a/6} \cos \dfrac {3\pi x}{a} dx = 0$
因此，可以得到粒子出现在区间 $[-a/6, a/6]$ 的几率为：
$P = \dfrac {1}{2a} (\dfrac {a}{3} + 0) = \dfrac {1}{6}$
波函数的模长平方表示粒子出现在某位置的概率密度，即 $|b(x)|^2$。对于给定的波函数 $b(x)=\dfrac {1}{\sqrt {a}}\cdot \cos \dfrac {3\pi x}{2a}$，其模长平方为：
$|b(x)|^2 = \left(\dfrac {1}{\sqrt {a}}\cdot \cos \dfrac {3\pi x}{2a}\right)^2 = \dfrac {1}{a}\cos^2 \dfrac {3\pi x}{2a}$
步骤 2：计算粒子出现在区间 $[-a/6, a/6]$ 的几率
粒子出现在某区间内的几率等于波函数模长平方在该区间上的积分，即：
$P = \int_{-a/6}^{a/6} |b(x)|^2 dx = \int_{-a/6}^{a/6} \dfrac {1}{a}\cos^2 \dfrac {3\pi x}{2a} dx$
利用三角恒等式 $\cos^2 \theta = \dfrac {1+\cos (2\theta )}{2}$，可以将上式变为：
$P = \dfrac {1}{2a} \int_{-a/6}^{a/6} (1+\cos \dfrac {3\pi x}{a}) dx$
对上式右侧的两个积分分别进行计算，可以得到：
$\int_{-a/6}^{a/6} 1 dx = \dfrac {a}{3}$
和
$\int_{-a/6}^{a/6} \cos \dfrac {3\pi x}{a} dx = 0$
因此，可以得到粒子出现在区间 $[-a/6, a/6]$ 的几率为：
$P = \dfrac {1}{2a} (\dfrac {a}{3} + 0) = \dfrac {1}{6}$