17.某理想气体的 -v 关系如图所示,由初态a经准静态过程直线ab变到终态b.已知该理想-|||-气体的定体摩尔热容为 _(v)=3R, 求该理想气体在ab过程中的摩尔热容.-|||-p b-|||-a-|||-第17题图

考查要点：本题主要考查理想气体在特定过程中的摩尔热容计算，涉及热力学第一定律、理想气体状态方程以及过程方程的结合应用。

解题核心思路：

1. 确定过程方程：根据p-V图中直线ab的几何关系，建立过程方程。
2. 联立理想气体状态方程：将过程方程与理想气体方程结合，消去变量，得到温度与体积的关系。
3. 微分处理：对温度与体积的关系式进行微分，求出$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}$。
4. 计算摩尔热容：利用热力学第一定律，结合$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}$的表达式，最终求出摩尔热容。

破题关键点：

• 过程方程的建立：通过几何关系确定$p$与$V$的线性关系。
• 微分技巧：通过消元法将温度与体积的关系转化为微分形式，简化计算。
• 热容公式的推导：将$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}$拆分为内能变化和体积功两部分。

步骤1：确定过程方程

由题图可知，直线ab的斜率为$\tan\theta$，因此过程方程为：
$\frac{p}{V} = \tan\theta \quad \Rightarrow \quad p = V \tan\theta \tag{1}$

步骤2：联立理想气体方程

理想气体状态方程为$PV = RT$，将式(1)代入得：
$V \cdot (V \tan\theta) = RT \quad \Rightarrow \quad V^2 \tan\theta = RT \tag{2}$

步骤3：对温度求微分

对式(2)两边关于$T$求微分：
$2V \tan\theta \, \mathrm{d}V = R \, \mathrm{d}T \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = \frac{R}{2V \tan\theta} \tag{3}$

步骤4：计算$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}$

根据热力学第一定律，$\mathrm{d}Q = \mathrm{d}U + p \mathrm{d}V$，其中$\mathrm{d}U = C_V \mathrm{d}T$。因此：
$C_m = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} = C_V + \frac{p}{\mathrm{d}T} \cdot \mathrm{d}V \tag{4}$

将$p = V \tan\theta$和式(3)代入式(4)：
$\frac{p \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = V \tan\theta \cdot \frac{R}{2V \tan\theta} = \frac{R}{2}$

步骤5：最终结果

代入$C_V = 3R$得：
$C_m = 3R + \frac{R}{2} = \frac{7}{2}R$