题目
例题4 内外半径分别为R1和R2的导体球壳内有一个半-|||-径为R的同心导体球,如图 11-9 所示.若让小球和球壳分别带-|||-电荷q和Q,试求:(1)电场强度的分布;(2)电势的分布;(3)两-|||-导体的电势差;(4)如果外球壳接地,求两球的电势差.-|||-Q R2-|||-q-|||-R1-|||-R-|||-图 11-9
题目解答
答案
解析
步骤 1：电荷分布
由于静电感应，球壳的内表面应带电荷 $-q$，根据电荷守恒定律，球壳的外表面所带电荷为 $q+Q$。由于导体的对称性，所有电荷应均匀分布于各球面上。
步骤 2：电场强度分布
根据静电平衡条件，10.1节中例题1的结论和电场强度的叠加原理，可得到电场强度的分布如下：
- $r < R$ 时，电场强度为 $E_1 = 0$。
- $R < r < R_1$ 时，电场强度为 $E_2 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r$。
- $R_1 < r < R_2$ 时，电场强度为 $E_3 = 0$。
- $r > R_2$ 时，电场强度为 $E_4 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r + \dfrac{-q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r + \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r = \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r$。
步骤 3：电势分布
根据静电平衡条件，10.4节中例题4的结论和电势的叠加原理可得电势的分布为：
- $r < R$ 时，电势为 $U_1 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$。
- $R < r < R_1$ 时，电势为 $U_2 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$。
- $R_1 \leq r \leq R_2$ 时，电势为 $U_3 = \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}$。
- $r > R_2$ 时，电势为 $U_4 = \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$。
步骤 4：两导体的电势差
两球的电势差为 $\Delta U = U_1 - U_3 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} - \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}$。
步骤 5：外球壳接地时的电势差
如果外球壳接地，则球壳外表面上的电荷为零，电势为零。内球电势为球壳的电势 $U_1 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \dfrac{-q}{4\pi \varepsilon_0 R_1} = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{R_1}\right)$。外球壳电势为 $U_2' = 0$。两球的电势差为 $\Delta U' = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{R_1}\right)$。
由于静电感应，球壳的内表面应带电荷 $-q$，根据电荷守恒定律，球壳的外表面所带电荷为 $q+Q$。由于导体的对称性，所有电荷应均匀分布于各球面上。
步骤 2：电场强度分布
根据静电平衡条件，10.1节中例题1的结论和电场强度的叠加原理，可得到电场强度的分布如下：
- $r < R$ 时，电场强度为 $E_1 = 0$。
- $R < r < R_1$ 时，电场强度为 $E_2 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r$。
- $R_1 < r < R_2$ 时，电场强度为 $E_3 = 0$。
- $r > R_2$ 时，电场强度为 $E_4 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r + \dfrac{-q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r + \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r = \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{e}_r$。
步骤 3：电势分布
根据静电平衡条件，10.4节中例题4的结论和电势的叠加原理可得电势的分布为：
- $r < R$ 时，电势为 $U_1 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$。
- $R < r < R_1$ 时，电势为 $U_2 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$。
- $R_1 \leq r \leq R_2$ 时，电势为 $U_3 = \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}$。
- $r > R_2$ 时，电势为 $U_4 = \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$。
步骤 4：两导体的电势差
两球的电势差为 $\Delta U = U_1 - U_3 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} - \dfrac{q+Q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}$。
步骤 5：外球壳接地时的电势差
如果外球壳接地，则球壳外表面上的电荷为零，电势为零。内球电势为球壳的电势 $U_1 = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \dfrac{-q}{4\pi \varepsilon_0 R_1} = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{R_1}\right)$。外球壳电势为 $U_2' = 0$。两球的电势差为 $\Delta U' = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{R_1}\right)$。