4.一人从 10 m 深的井中提水.起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为 1 kg ,由于水桶•漏水，每升高 1 m 要漏去 0.2 kg 的水求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功.

步骤 1：确定水桶的重量随高度变化的函数
水桶的重量由水和桶本身的质量组成。起始时，水的质量为10kg，桶的质量为1kg，总质量为11kg。每升高1m，水的质量减少0.2kg。因此，水桶的重量随高度y变化的函数为：
\[ F(y) = (10 - 0.2y)g + mg \]
其中，\( g \)是重力加速度，\( m \)是桶的质量，\( y \)是高度。代入数值，得到：
\[ F(y) = (10 - 0.2y)g + 1g = (11 - 0.2y)g \]
步骤 2：计算人所做的功
人所做的功等于拉力随高度变化的积分。从井底到井口的高度为10m，所以积分的范围是从0到10。功的计算公式为：
\[ W = \int_{0}^{10} F(y) dy \]
代入步骤1中的函数，得到：
\[ W = \int_{0}^{10} (11 - 0.2y)g dy \]
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到：
\[ W = g \int_{0}^{10} (11 - 0.2y) dy = g \left[ 11y - 0.1y^2 \right]_{0}^{10} \]
\[ W = g \left[ 11 \times 10 - 0.1 \times 10^2 \right] - g \left[ 11 \times 0 - 0.1 \times 0^2 \right] \]
\[ W = g \left[ 110 - 10 \right] = 100g \]
代入\( g = 9.8 m/s^2 \)，得到：
\[ W = 100 \times 9.8 = 980 J \]