题目

21】计算int(x^2)/(sqrt(a^2)-x^(2) )dx(a>0).

21】计算$\int\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}} }dx(a>0).$

题目解答

答案

为了计算积分 $\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx$，我们可以使用三角代换。设 $x = a \sin \theta$，其中 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。那么，$dx = a \cos \theta \, d\theta$，积分变为： \[ \int \frac{(a \sin \theta)^2}{\sqrt{a^2 - (a \sin \theta)^2}} \cdot a \cos \theta \, d\theta = \int \frac{a^2 \sin^2 \theta}{\sqrt{a^2 (1 - \sin^2 \theta)}} \cdot a \cos \theta \, d\theta = \int \frac{a^2 \sin^2 \theta}{a \cos \theta} \cdot a \cos \theta \, d\theta = \int a^2 \sin^2 \theta \, d\theta. \] 接下来，我们使用恒等式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ 来简化被积函数： \[ \int a^2 \sin^2 \theta \, d\theta = \int a^2 \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{a^2}{2} \int (1 - \cos 2\theta) \, d\theta. \] 我们可以将这个积分拆分为两个更简单的积分： \[ \frac{a^2}{2} \int (1 - \cos 2\theta) \, d\theta = \frac{a^2}{2} \left( \int 1 \, d\theta - \int \cos 2\theta \, d\theta \right) = \frac{a^2}{2} \left( \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + C = \frac{a^2}{2} \theta - \frac{a^2}{4} \sin 2\theta + C. \] 使用二倍角恒等式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$，我们得到： \[ \frac{a^2}{2} \theta - \frac{a^2}{4} \cdot 2 \sin \theta \cos \theta + C = \frac{a^2}{2} \theta - \frac{a^2}{2} \sin \theta \cos \theta + C. \] 现在，我们需要将 $\theta$，$\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 用 $x$ 表示。因为 $x = a \sin \theta$，我们有 $\sin \theta = \frac{x}{a}$ 和 $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{a}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$。同时，$\theta = \arcsin \left(\frac{x}{a}\right)$。将这些代入表达式，我们得到： \[ \frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) - \frac{a^2}{2} \cdot \frac{x}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} + C = \frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C. \] 因此，积分的值为： \[ \boxed{\frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C}. \]

解析

考查要点：本题主要考查三角代换法在不定积分中的应用，以及利用三角恒等式简化积分表达式的能力。

解题核心思路：
当积分中出现$\sqrt{a^2 - x^2}$时，通常采用三角代换，令$x = a \sin \theta$，将根号内的表达式转化为$\cos \theta$，从而简化积分。随后利用三角恒等式（如$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$）进一步化简被积函数，最后通过反三角函数将结果转换回原变量$x$。

破题关键点：

  1. 正确选择代换变量，将根号消去；
  2. 灵活应用三角恒等式简化积分；
  3. 准确回代，将中间变量$\theta$用$x$表示。

三角代换

设$x = a \sin \theta$，则$dx = a \cos \theta \, d\theta$，且$\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos \theta$。代入原积分：
$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \int \frac{a^2 \sin^2 \theta}{a \cos \theta} \cdot a \cos \theta \, d\theta = \int a^2 \sin^2 \theta \, d\theta.$

利用三角恒等式化简

将$\sin^2 \theta$用$\frac{1 - \cos 2\theta}{2}$替换：
$\int a^2 \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{a^2}{2} \int (1 - \cos 2\theta) \, d\theta.$

分项积分

拆分为两个简单积分：
$\frac{a^2}{2} \left( \int 1 \, d\theta - \int \cos 2\theta \, d\theta \right) = \frac{a^2}{2} \left( \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + C.$

回代与化简

利用$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$，并代入$x = a \sin \theta$：
$\begin{aligned}\theta &= \arcsin \left( \frac{x}{a} \right), \\\sin \theta &= \frac{x}{a}, \quad \cos \theta = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}, \\\sin 2\theta &= \frac{2x \sqrt{a^2 - x^2}}{a^2}.\end{aligned}$
最终结果为：
$\frac{a^2}{2} \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{2} + C.$