题目
-12 如题 13-12 图所示均质轮A的半径是r1,质量是m1,可在倾角为θ的固定斜面-|||-上纯滚动。均质轮B的半径是r2,质量是m2。水平刚度系数是k。假设系统从弹簧未变形的-|||-位置静止释放,绳与轮B不打滑,绳的倾斜段与斜面平行,不计绳重和轴承摩擦。试求轮心-|||-C沿斜面向下运动的最大距离以及此瞬时轮心C的加速度。-|||-B-|||-A-|||-题 13-12 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定系统初始状态和运动过程
系统从弹簧未变形的位置静止释放，轮心C沿斜面向下运动，直到弹簧达到最大压缩量，此时轮心C的速度为零，加速度达到最大值。
步骤 2：应用能量守恒定律
在轮心C沿斜面向下运动的过程中，系统的机械能守恒。初始时，系统的势能为零，动能也为零。当轮心C沿斜面向下运动最大距离时，系统的势能为弹簧的弹性势能，动能为零。因此，可以列出能量守恒方程：
$$
m_1 g S_{max} \sin \theta = \frac{1}{2} k S_{max}^2
$$
其中，$S_{max}$是轮心C沿斜面向下运动的最大距离。
步骤 3：求解最大距离
解上述方程，得到轮心C沿斜面向下运动的最大距离：
$$
S_{max} = \frac{2 m_1 g \sin \theta}{k}
$$
步骤 4：应用牛顿第二定律
当轮心C沿斜面向下运动最大距离时，轮心C的加速度达到最大值。此时，轮心C受到重力、弹簧力和斜面支持力的作用。根据牛顿第二定律，可以列出轮心C的运动方程：
$$
m_1 g \sin \theta - k S_{max} = m_1 a_c
$$
其中，$a_c$是轮心C的加速度。
步骤 5：求解加速度
将步骤 3 中求得的 $S_{max}$ 代入上述方程，得到轮心C的加速度：
$$
a_c = \frac{2 m_1 g \sin \theta}{3 m_1 + m_2}
$$
系统从弹簧未变形的位置静止释放，轮心C沿斜面向下运动，直到弹簧达到最大压缩量，此时轮心C的速度为零，加速度达到最大值。
步骤 2：应用能量守恒定律
在轮心C沿斜面向下运动的过程中，系统的机械能守恒。初始时，系统的势能为零，动能也为零。当轮心C沿斜面向下运动最大距离时，系统的势能为弹簧的弹性势能，动能为零。因此，可以列出能量守恒方程：
$$
m_1 g S_{max} \sin \theta = \frac{1}{2} k S_{max}^2
$$
其中，$S_{max}$是轮心C沿斜面向下运动的最大距离。
步骤 3：求解最大距离
解上述方程，得到轮心C沿斜面向下运动的最大距离：
$$
S_{max} = \frac{2 m_1 g \sin \theta}{k}
$$
步骤 4：应用牛顿第二定律
当轮心C沿斜面向下运动最大距离时，轮心C的加速度达到最大值。此时，轮心C受到重力、弹簧力和斜面支持力的作用。根据牛顿第二定律，可以列出轮心C的运动方程：
$$
m_1 g \sin \theta - k S_{max} = m_1 a_c
$$
其中，$a_c$是轮心C的加速度。
步骤 5：求解加速度
将步骤 3 中求得的 $S_{max}$ 代入上述方程，得到轮心C的加速度：
$$
a_c = \frac{2 m_1 g \sin \theta}{3 m_1 + m_2}
$$