一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为 lambda r 及 mutheta，式中 lambda 及 mu 是常量．试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度为lambda^2 r - (mu^2 theta^2)/(r)，mutheta(lambda + (mu)/(r))

根据题意，质点在极坐标系中的径向速度和横向速度分别为：

• 径向速度：$\dot{r} = \lambda r$
• 横向速度：$r \dot{\theta} = \mu \theta$

由此可推导出：

1. 径向加速度 $a_r$

由极坐标加速度公式：
$a_r = \ddot{r} - r \dot{\theta}^2$
其中：

• $\ddot{r} = \frac{d}{dt}(\lambda r) = \lambda \dot{r} = \lambda^2 r$
• $\dot{\theta} = \frac{\mu \theta}{r}$，故 $r \dot{\theta}^2 = r \cdot \left( \frac{\mu \theta}{r} \right)^2 = \frac{\mu^2 \theta^2}{r}$

代入得：
$a_r = \lambda^2 r - \frac{\mu^2 \theta^2}{r}$

2. 横向加速度 $a_\theta$

由极坐标加速度公式：
$a_\theta = r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}$
其中：

• $\ddot{\theta} = \frac{d}{dt}\left( \frac{\mu \theta}{r} \right) = \frac{\mu \theta}{r} \left( \frac{\mu}{r} - \lambda \right)$（通过对 $r \dot{\theta} = \mu \theta$ 求导并代入已知量得到）
• $\dot{r} \dot{\theta} = (\lambda r) \cdot \left( \frac{\mu \theta}{r} \right) = \lambda \mu \theta$

代入得：
$a_\theta = \mu \theta \left( \lambda + \frac{\mu}{r} \right)$

综上，质点沿位矢及垂直于位矢的加速度分别为：
$a_r = \lambda^2 r - \frac{\mu^2 \theta^2}{r}, \quad a_\theta = \mu \theta \left( \lambda + \frac{\mu}{r} \right)$