题目

判断题（1.0分）54.int_(a)^af(x)dx=0A 对B 错

判断题（1.0分） 54.$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$ A 对 B 错

题目解答

答案

要判断题目 $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$ 的正确性，我们需要理解定积分的定义和性质。定积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的面积（考虑正负）。当积分的上下限相同时，即 $a = b$，区间 $[a, a]$ 的长度为零。因此，函数 $f(x)$ 在长度为零的区间上的面积也是零。 数学上，定积分的定义涉及黎曼和。对于函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，我们有： \[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x \] 其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 是每个子区间长度，$x_i^*$ 是第 $i$ 个子区间中的一个点。当 $a = b$ 时，$\Delta x = \frac{a-a}{n} = 0$，所以和式中的每一项都是 $f(x_i^*) \cdot 0 = 0$。因此，整个和式为零，其极限也是零。 因此，我们有： \[ \int_{a}^{a}f(x)dx = 0 \] 所以，正确答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查定积分的基本性质，特别是当积分上下限时积分值的计算。

解题核心思路：根据定积分的定义，当积分区间的上下限相同时，积分区间长度为零，此时积分结果必然为零。

关键点：

  • 定积分的几何意义：积分值对应函数在区间上的“面积”，但区间长度为零时，面积自然为零。
  • 定积分的代数定义（黎曼和）：当上下限时，所有子区间长度均为零，黎曼和为零，极限也为零。

根据定积分的定义，积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 的值与积分区间 $[a, b]$ 的长度相关。当积分上下限相同时，即 $a = b$，此时积分区间退化为一个点，区间长度为零。

具体推导过程：

  1. 定积分的定义式：
    $\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$
    其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 是每个子区间的长度，$x_i^*$ 是第 $i$ 个子区间内的任意一点。

  2. 当 $a = b$ 时：

    • 区间长度 $\Delta x = \frac{a-a}{n} = 0$，因此每个子区间的长度均为零。
    • 黎曼和中的每一项均为 $f(x_i^*) \cdot 0 = 0$，整个和式为 $0$。
    • 极限值为 $\lim_{n \to \infty} 0 = 0$。

因此，$\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$，答案正确。