题目

质量m=0.5 kg的质点在xOy平面内运动,运动方程为 r=[(2t+2t^2)i+3tj] m。求在t=0至t=3s这段时间内,合力对质点所做的功。

质量m=0.5 kg的质点在xOy平面内运动,运动方程为 r=[(2t+2t^2)i+3tj] m。求在t=0至t=3s这段时间内,合力对质点所做的功。

题目解答

答案

解由运动方程 r=[(2t+2t^2)i+3tj]'(m ,得v=(dr)/(dt)=[(2+4t)i+3j]m/s v(0)=(2i+3j)m/s,v=(14i+3j)m/sin(3)=(-3j) v^2(0)=13 υ^2(3)=205由动能定理得力做的功W=1/2mυ^2(3)-1/2mυ^2(0)=48J

解析

本题考查知识点为运动学中速度的求解以及动能定理的应用。解题思路如下：

  1. 首先根据质点的运动方程$\vec{r}$，通过对时间$t$求导得到速度$\vec{v}$的表达式。因为速度是位移对时间的变化率，在矢量形式下，对运动方程的每个分量分别求导即可。
  2. 然后将$t = 0$和$t = 3s$分别代入速度表达式，求出这两个时刻的速度$\vec{v}(0)$和$\vec{v}(3)$。
  3. 接着计算$t = 0$和$t = 3s$时速度的平方$v^{2}(0)$和$v^{2}(3)$。速度是矢量，速度的平方是速度矢量的模的平方，对于二维矢量$\vec{v}=v_{x}\vec{i} + v_{y}\vec{j}$，其模的平方$v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$。
  4. 最后根据动能定理$W=\Delta E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}(3)-\frac{1}{2}mv^{2}(0)$计算合力对质点所做的功，其中$m$为质点的质量。

下面进行详细的计算：

  1. 已知运动方程$\vec{r}=(2t + 2t^{2})\vec{i}+3t\vec{j}$，对其求导可得速度$\vec{v}$：
    • 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(2t+2t^{2})^\prime=2 + 4t$，$(3t)^\prime = 3$。
    • 所以$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=(2 + 4t)\vec{i}+3\vec{j}$。
  2. 计算$t = 0$和$t = 3s$时的速度：
    • 当$t = 0$时，$\vec{v}(0)=(2 + 4\times0)\vec{i}+3\vec{j}=2\vec{i}+3\vec{j}$。
    • 当$t = 3s$时，$\vec{v}(3)=(2 + 4\times3)\vec{i}+3\vec{j}=14\vec{i}+3\vec{j}$。
  3. 计算$t = 0$和$t = 3s$时速度的平方：
    • 对于$\vec{v}(0)=2\vec{i}+3\vec{j}$，$v^{2}(0)=2^{2}+3^{2}=4 + 9 = 13$。
    • 对于$\vec{v}(3)=14\vec{i}+3\vec{j}$，$v^{2}(3)=14^{2}+3^{2}=196+9 = 205$。
  4. 根据动能定理计算合力做的功：
    • 已知$m = 0.5kg$，$W=\frac{1}{2}mv^{2}(3)-\frac{1}{2}mv^{2}(0)$。
    • 代入$m = 0.5kg$，$v^{2}(0)=13$，$v^{2}(3)=205$可得：
      • $W=\frac{1}{2}\times0.5\times205-\frac{1}{2}\times0.5\times13$
      • $=\frac{1}{4}\times(205 - 13)$
      • $=\frac{1}{4}\times192$
      • $= 48J$。