题目
设平面上半径为 a 的圆形薄片,其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比,比例系数为 k,该圆形薄片的质量为()。A. (kpi)/(2)a^4B. kpi a^4C. (kpi)/(3)a^4D. 2kpi a^4
设平面上半径为 $a$ 的圆形薄片,其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比,比例系数为 $k$,该圆形薄片的质量为()。
A. $\frac{k\pi}{2}a^4$
B. $k\pi a^4$
C. $\frac{k\pi}{3}a^4$
D. $2k\pi a^4$
题目解答
答案
A. $\frac{k\pi}{2}a^4$
解析
步骤 1：定义密度函数
设密度函数 $\rho(r, \theta) = kr^2$，其中 $r$ 为到圆心的距离，$\theta$ 为极角，$k$ 为比例系数。
步骤 2：质量的积分表达式
在极坐标中，质量 $M$ 的积分表达式为： \[ M = \iint_D \rho(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^a kr^3 \, dr \, d\theta \]
步骤 3：对 $r$ 积分
先对 $r$ 积分： \[ \int_0^a kr^3 \, dr = k \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^a = \frac{ka^4}{4} \]
步骤 4：对 $\theta$ 积分
再对 $\theta$ 积分： \[ M = \int_0^{2\pi} \frac{ka^4}{4} \, d\theta = \frac{ka^4}{4} \cdot 2\pi = \frac{k\pi a^4}{2} \]
设密度函数 $\rho(r, \theta) = kr^2$，其中 $r$ 为到圆心的距离，$\theta$ 为极角，$k$ 为比例系数。
步骤 2：质量的积分表达式
在极坐标中，质量 $M$ 的积分表达式为： \[ M = \iint_D \rho(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^a kr^3 \, dr \, d\theta \]
步骤 3：对 $r$ 积分
先对 $r$ 积分： \[ \int_0^a kr^3 \, dr = k \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^a = \frac{ka^4}{4} \]
步骤 4：对 $\theta$ 积分
再对 $\theta$ 积分： \[ M = \int_0^{2\pi} \frac{ka^4}{4} \, d\theta = \frac{ka^4}{4} \cdot 2\pi = \frac{k\pi a^4}{2} \]