7、牛顿环装置由折射率为1.38、半径为R的平凸镜和相同折射率的光学平玻璃组成，若将实验从空气中移入折射率为1的水中，求第8级暗环直径的相对变化 ∆D8D8 .

考查要点：本题主要考查牛顿环实验中光的干涉条件随介质变化的分析能力，以及相对变化的计算。

解题核心思路：

1. 明确暗环条件：在反射光干涉中，暗环的形成与光程差及半波损失有关。需判断不同介质中反射光的半波损失情况，确定光程差表达式。
2. 对比介质变化：空气（折射率$n_1=1$）与水（折射率$n_3=1.33$）中，暗环条件的差异导致暗环直径变化。
3. 相对变化计算：通过暗环半径与介质折射率的关系，推导直径变化的相对值。

破题关键点：

• 半波损失分析：两次反射均存在半波损失时，总光程差需调整。
• 公式变形：暗环半径$r_k$与$\sqrt{\frac{\lambda R}{n}}$成正比，折射率$n$变化直接影响直径。

暗环条件分析

1. 空气中：平凸透镜与玻璃板间为空气（$n_1=1$）。两次反射均发生半波损失，总光程差为：
   $2n_1 d = k\lambda \quad (k=1,2,\dots)$
   其中$d$为空气隙厚度，对应第$k$级暗环半径$r_k$满足：
   $r_k^2 = \frac{(k-\frac{1}{2})\lambda R}{2n_1}$

2. 水中：空气隙被水（$n_3=1.33$）填充。两次反射仍存在半波损失，光程差条件变为：
   $2n_3 d' = k\lambda$
   对应第$k$级暗环半径$r'_k$满足：
   $r'_k^2 = \frac{(k-\frac{1}{2})\lambda R}{2n_3}$

直径相对变化计算

• 原直径：$D_k = 2r_k = 2\sqrt{\frac{(k-\frac{1}{2})\lambda R}{2n_1}}$
• 新直径：$D'_k = 2r'_k = 2\sqrt{\frac{(k-\frac{1}{2})\lambda R}{2n_3}}$
• 相对变化：
  $\frac{\Delta D_k}{D_k} = \frac{D'_k - D_k}{D_k} = \sqrt{\frac{n_1}{n_3}} - 1 = \sqrt{\frac{1}{1.33}} - 1 \approx -0.133$