题目
24.磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间,一金属杆放在图中位置,杆长为2 R,其中-|||-一半位于磁场内、另一半在磁场外。当 dfrac (dB)(dt)gt 0 时,求:杆两端的感应电动势的大小和方向。-|||-B-|||-O-|||-R-|||-d b
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场变化产生的电动势
根据法拉第电磁感应定律，当磁场随时间变化时，会产生感应电动势。感应电动势的大小与磁场变化率和穿过回路的磁通量变化率成正比。公式为：$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$，其中$\Phi$是磁通量，$\varepsilon$是感应电动势。
步骤 2：计算磁通量变化率
由于磁场是均匀的，且变化率为$\dfrac{dB}{dt}$，穿过金属杆在磁场内的部分的磁通量变化率为$\dfrac{d\Phi}{dt} = \dfrac{dB}{dt} \cdot A$，其中$A$是磁场内部分的面积。金属杆在磁场内的部分是一个半径为$R$的半圆，其面积为$\dfrac{\pi R^2}{2}$。因此，磁通量变化率为$\dfrac{d\Phi}{dt} = \dfrac{dB}{dt} \cdot \dfrac{\pi R^2}{2}$。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -\dfrac{dB}{dt} \cdot \dfrac{\pi R^2}{2}$。由于题目中给出$\dfrac{dB}{dt} > 0$，感应电动势的方向与磁场变化的方向相反，即沿杆向左。
步骤 4：计算杆两端的感应电动势
由于金属杆在磁场内的部分是一个半径为$R$的半圆，其长度为$\pi R$。杆在磁场外的部分长度为$R$。因此，杆两端的感应电动势为$\varepsilon = \dfrac{\pi R^2}{2} \cdot \dfrac{dB}{dt} \cdot \dfrac{1}{\pi R} = \dfrac{R}{2} \cdot \dfrac{dB}{dt}$。但是，由于杆在磁场内的部分是一个半圆，其面积为$\dfrac{\pi R^2}{2}$，因此感应电动势的大小为$\varepsilon = \dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2 \cdot \dfrac{dB}{dt} + \dfrac{\pi}{12}R^2 \cdot \dfrac{dB}{dt} = (\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{12})R^2 \cdot \dfrac{dB}{dt}$。
根据法拉第电磁感应定律，当磁场随时间变化时，会产生感应电动势。感应电动势的大小与磁场变化率和穿过回路的磁通量变化率成正比。公式为：$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$，其中$\Phi$是磁通量，$\varepsilon$是感应电动势。
步骤 2：计算磁通量变化率
由于磁场是均匀的，且变化率为$\dfrac{dB}{dt}$，穿过金属杆在磁场内的部分的磁通量变化率为$\dfrac{d\Phi}{dt} = \dfrac{dB}{dt} \cdot A$，其中$A$是磁场内部分的面积。金属杆在磁场内的部分是一个半径为$R$的半圆，其面积为$\dfrac{\pi R^2}{2}$。因此，磁通量变化率为$\dfrac{d\Phi}{dt} = \dfrac{dB}{dt} \cdot \dfrac{\pi R^2}{2}$。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -\dfrac{dB}{dt} \cdot \dfrac{\pi R^2}{2}$。由于题目中给出$\dfrac{dB}{dt} > 0$，感应电动势的方向与磁场变化的方向相反，即沿杆向左。
步骤 4：计算杆两端的感应电动势
由于金属杆在磁场内的部分是一个半径为$R$的半圆，其长度为$\pi R$。杆在磁场外的部分长度为$R$。因此，杆两端的感应电动势为$\varepsilon = \dfrac{\pi R^2}{2} \cdot \dfrac{dB}{dt} \cdot \dfrac{1}{\pi R} = \dfrac{R}{2} \cdot \dfrac{dB}{dt}$。但是，由于杆在磁场内的部分是一个半圆，其面积为$\dfrac{\pi R^2}{2}$，因此感应电动势的大小为$\varepsilon = \dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2 \cdot \dfrac{dB}{dt} + \dfrac{\pi}{12}R^2 \cdot \dfrac{dB}{dt} = (\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi}{12})R^2 \cdot \dfrac{dB}{dt}$。