题目
-13 如图(a)所示,金属杆AB 以匀速=2.0mcdot (s)^-1平行于一长直导线移动,此导线通有电流I =40A.求杆中的感应电动势,杆的哪一端电势较高?=2.0mcdot (s)^-1
-13 如图(a)所示,金属杆AB 以匀速
平行于一长直导线移动,此导线通有电流I =40A.求杆中的感应电动势,杆的哪一端电势较高?
平行于一长直导线移动,此导线通有电流I =40A.求杆中的感应电动势,杆的哪一端电势较高?
题目解答
答案
分析 本题可用两种方法求解.(1) 用公式
求解,建立图(a)所示的坐标系,所取导体元
,该处的磁感强度
.(2) 用法拉第电磁感应定律求解,需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路.为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动,如图(b)所示.设时刻t,杆AB 距导轨下端CD的距离为y,先用公式
求得穿过该回路的磁通量,再代入公式
,即可求得回路的电动势,亦即本题杆中的电动势.
求解,建立图(a)所示的坐标系,所取导体元,该处的磁感强度.(2) 用法拉第电磁感应定律求解,需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路.为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动,如图(b)所示.设时刻t,杆AB 距导轨下端CD的距离为y,先用公式求得穿过该回路的磁通量,再代入公式,即可求得回路的电动势,亦即本题杆中的电动势.解1 根据分析,杆中的感应电动势为
式中负号表示电动势方向由B 指向A,故点A 电势较高.
解2 设顺时针方向为回路ABCD 的正向,根据分析,在距直导线x 处,取宽为dx、长为y 的面元dS,则穿过面元的磁通量为
穿过回路的磁通量为
回路的电动势为
由于静止的形导轨上电动势为零,所以
式中负号说明回路电动势方向为逆时针,对AB 导体来说,电动势方向应由B 指向A,故点A 电势较高.
解析
步骤 1：确定磁场分布
长直导线产生的磁场可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线x处的磁场强度B，有$B=\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi x}$，其中${\mu}_0$是真空磁导率，I是导线中的电流，x是距离导线的距离。
步骤 2：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$E$可以表示为$E={\int }_{AB}(v\times B)\cdot dl$，其中$v$是金属杆的速度，$B$是磁场强度，$dl$是金属杆上的微小长度元素。由于金属杆AB平行于长直导线移动，$v\times B$的方向垂直于金属杆，因此感应电动势$E$可以简化为$E=-{\int }_{0.1m}^{1.1m}\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi x}dx$，其中负号表示电动势方向由B指向A。
步骤 3：计算积分
将已知数值代入，得到$E=-\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}{\int }_{0.1m}^{1.1m}\dfrac{1}{x}dx=-\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}\ln(\dfrac{1.1m}{0.1m})$。代入${\mu}_0=4\pi\times{10}^{-7}T\cdot m/A$，$I=40A$，$v=2.0m/s$，计算得到$E=-3.84\times{10}^{-5}V$。
步骤 4：确定电势较高的一端
由于感应电动势的方向由B指向A，所以A端电势较高。
长直导线产生的磁场可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线x处的磁场强度B，有$B=\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi x}$，其中${\mu}_0$是真空磁导率，I是导线中的电流，x是距离导线的距离。
步骤 2：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$E$可以表示为$E={\int }_{AB}(v\times B)\cdot dl$，其中$v$是金属杆的速度，$B$是磁场强度，$dl$是金属杆上的微小长度元素。由于金属杆AB平行于长直导线移动，$v\times B$的方向垂直于金属杆，因此感应电动势$E$可以简化为$E=-{\int }_{0.1m}^{1.1m}\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi x}dx$，其中负号表示电动势方向由B指向A。
步骤 3：计算积分
将已知数值代入，得到$E=-\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}{\int }_{0.1m}^{1.1m}\dfrac{1}{x}dx=-\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}\ln(\dfrac{1.1m}{0.1m})$。代入${\mu}_0=4\pi\times{10}^{-7}T\cdot m/A$，$I=40A$，$v=2.0m/s$，计算得到$E=-3.84\times{10}^{-5}V$。
步骤 4：确定电势较高的一端
由于感应电动势的方向由B指向A，所以A端电势较高。