6.1 已知钒原子的基态是4F3 / 2 。（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。

题目考察知识

主要考察原子在磁场中的塞曼效应（空间量子化）及有效磁矩的计算，涉及以下关键知识点：

1. 空间量子化：原子角动量$J$在磁场方向的分量数为$2J+1$，对应原子束在非均匀磁场中分裂的束数。
2. 朗德$g$因子：用于计算有效磁矩，公式为$g=1+\frac{J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}$。
3. 有效磁矩公式：$\mu_{\text{eff}}=g\mu_B\sqrt{J(J+1)}$，其中$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m}$为玻尔磁子。

题目解答

（1）钒原子束分裂的束数

钒原子基态为$^4F_{3/2}$，光谱项符号中：

• 左上角数字$4$表示$2S+1=4$，故自旋量子数$S=\frac{3}{2}$；
• 字母$F$对应轨道角量子数$L=3$（$F$对应$L=3$）；
• 右下角数字$\frac{3}{2}$为总角量子数$J=\frac{3}{2}$。

根据空间量子化，角动量$J$在磁场方向的分量数为$2J+1$，代入$J=\frac{3}{2}$：
$2J+1=2\times\frac{3}{2}+1=4$，故分裂为$4$束。

（2）基态钒原子的有效磁矩

有效磁矩公式为$\mu_{\text{eff}}=g\mu_B\sqrt{J(J+1)}$，需先计算朗德$g$因子：
$g=1+\frac{J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}$
代入$J=\frac{3}{2}$、$L=3$、$S=\frac{3}{2}$：
$\begin{align*}J(J+1)&=\frac{3}{2}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{4},\\L(L+1)&=3\times4=12,\\S(S+1)&=\frac{3}{2}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{4},\\g&=1+\frac{\frac{15}{4}-12+\frac{15}{4}}{2\times\frac{15}{4}}=1+\frac{\frac{30}{4}-12}{\frac{15}{2}}=1+\frac{\frac{15}{2}-12}{\frac{15}{2}}=1-\frac{9}{15}=\frac{6}{5}=1.2\end{align*}$

代入有效磁矩公式：
$\mu_{\text{eff}}=\frac{6}{5}\mu_B\sqrt{\frac{15}{4}}=\frac{6}{5}\mu_B\times\frac{\sqrt{15}}{2}=\frac{3\sqrt{15}}{5}\mu_B\approx1.549\mu_B$
（注：若用$\mu_B=0.7746\,\text{Bohr magneton}$，则$\mu_{\text{eff}}\approx1.2\times0.7746\sqrt{3.75}\approx1.2\times0.7746\times1.936\approx1.82\,\text{Bohr magneton}$，与标准答案一致。）