三线摆实验中，已知下圆盘与待测刚体的总质量为M，上圆盘的质量为m，上圆盘半径为r，下圆盘半径为R，上下圆盘中心的高度差为H，实验中将计时器设定为50个周期，执行后，计时器最终显示时间为t，则下圆盘与待测刚体对转轴的总转动惯量为（ ）A. (MgRr)/(1000pi^2H)t^2B. (MgRr)/(250pi^2H)t^2C. (MgRr)/(10000pi^2H)t^2D. (mgRr)/(4pi^2H)t^2

本题考查三线摆实验中转动惯量的计算，解题思路是先根据三线摆的周期公式推导出转动惯量的表达式，再结合题目所给的实验数据进行计算。

步骤一：推导三线摆的周期公式

设下圆盘与待测刚体对转轴的总转动惯量为$I$，下圆盘做微小摆动时，可近似看作简谐振动。根据能量守恒定律和刚体转动定律，可以推导出三线摆的周期公式为：
$T = 2\pi\sqrt{\frac{Ih}{MgRr}}$
其中$T$为周期，$h$为上下圆盘中心的高度差$H$，$M$为下圆盘与待测刚体的总质量，$g$为重力加速度，$R$为下圆盘半径，$r$为上圆盘半径。

步骤二：对周期公式进行变形求解转动惯量$I$

将周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{IH}{MgRr}}$两边同时平方可得：
$T^2 = 4\pi^2\frac{IH}{MgRr}$
然后移项求解$I$，得到：
$I = \frac{MgRrT^2}{4\pi^2H}$

步骤三：根据实验数据计算周期$T$

已知实验中将计时器设定为$50$个周期，计时器最终显示时间为$t$，那么一个周期的时间$T$为：
$T = \frac{t}{50}$

步骤四：将$T = \frac{t}{50}$代入转动惯量公式$I = \frac{MgRrT^2}{4\pi^2H}$中

$I = \frac{MgRr(\frac{t}{50})^2}{4\pi^2H}$
$=\frac{MgRr\frac{t^2}{2500}}{4\pi^2H}$
$=\frac{MgRr t^2}{2500\times4\pi^2H}$
$=\frac{MgRr t^2}{10000\pi^2H}$