题目
总量为q的电荷均匀分布在单位半径为a，介电常数为ε的体内，球外为空气，求静电能量。
总量为q的电荷均匀分布在单位半径为a，介电常数为ε的体内，球外为空气，求静电能量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电场分布
电荷均匀分布在半径为a的球体内，球外为空气。根据高斯定理，可以确定电场分布。在球体内，电场为 $\overrightarrow {{E}_{1}}=\dfrac {\rho r}{3e}\overrightarrow {{e}_{r}}=\dfrac {\rho r}{4\pi e{a}^{3}}\overrightarrow {{e}_{r}}$，其中 $\rho$ 是电荷密度，$r$ 是球内任意一点到球心的距离。在球外，电场为 ${\overline {E}_{2}}=\dfrac {\rho }{4\pi {r}^{2}}{\overline {e}}_{2}$，其中 $r$ 是球外任意一点到球心的距离。
步骤 2：计算静电能量
静电能量可以通过积分电场能量密度来计算。电场能量密度为 $\dfrac {1}{2}\overrightarrow {D}\cdot \overrightarrow {E}$，其中 $\overrightarrow {D}$ 是电位移矢量，$\overrightarrow {E}$ 是电场强度。对于球内和球外，分别计算电场能量密度的积分。
球内静电能量为 ${W}_{e1}={\int }_{0}^{a}\dfrac {1}{2}e{(\dfrac {pr}{4\pi {{e}^{3}}}^{2})}^{2}4\pi {r}^{2}dr$，球外静电能量为 ${W}_{e2}={\int }_{a}^{\infty }\dfrac {1}{2}{e}_{0}{(\dfrac {pr}{4\pi {r}^{2}})}^{2}4\pi {r}^{2}dr$。
步骤 3：计算总静电能量
将球内和球外的静电能量相加，得到总静电能量。总静电能量为 ${W}_{e}={W}_{e1}+{W}_{e2}$。
电荷均匀分布在半径为a的球体内，球外为空气。根据高斯定理，可以确定电场分布。在球体内，电场为 $\overrightarrow {{E}_{1}}=\dfrac {\rho r}{3e}\overrightarrow {{e}_{r}}=\dfrac {\rho r}{4\pi e{a}^{3}}\overrightarrow {{e}_{r}}$，其中 $\rho$ 是电荷密度，$r$ 是球内任意一点到球心的距离。在球外，电场为 ${\overline {E}_{2}}=\dfrac {\rho }{4\pi {r}^{2}}{\overline {e}}_{2}$，其中 $r$ 是球外任意一点到球心的距离。
步骤 2：计算静电能量
静电能量可以通过积分电场能量密度来计算。电场能量密度为 $\dfrac {1}{2}\overrightarrow {D}\cdot \overrightarrow {E}$，其中 $\overrightarrow {D}$ 是电位移矢量，$\overrightarrow {E}$ 是电场强度。对于球内和球外，分别计算电场能量密度的积分。
球内静电能量为 ${W}_{e1}={\int }_{0}^{a}\dfrac {1}{2}e{(\dfrac {pr}{4\pi {{e}^{3}}}^{2})}^{2}4\pi {r}^{2}dr$，球外静电能量为 ${W}_{e2}={\int }_{a}^{\infty }\dfrac {1}{2}{e}_{0}{(\dfrac {pr}{4\pi {r}^{2}})}^{2}4\pi {r}^{2}dr$。
步骤 3：计算总静电能量
将球内和球外的静电能量相加，得到总静电能量。总静电能量为 ${W}_{e}={W}_{e1}+{W}_{e2}$。