9.微分方程y'=2xy的通解y=（）A. Ce^x^(2)B. e^x^(2)+CC. x^2+CD. e^x+C

本题考查可分离变量的微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程进行分离变量，然后对等式两边分别积分，最后通过化简得到通解。

步骤一：分离变量

已知微分方程$y' = 2xy$，因为$y'=\frac{dy}{dx}$，所以原方程可化为$\frac{dy}{dx}=2xy$。
将变量$x$和$y$分离，得到$\frac{1}{y}dy = 2xdx$（$y\neq0$）。

步骤二：两边积分

对分离变量后的等式两边分别积分：
$\int\frac{1}{y}dy=\int2xdx$
根据积分公式$\int\frac{1}{y}dy=\ln|y| + C_1$，$\int2xdx = x^2 + C_2$（$C_1,C_2$为常数），可得：
$\ln|y| = x^2 + C$（令$C = C_2 - C_1$）

步骤三：求解$y$

为了得到$y$的表达式，对$\ln|y| = x^2 + C$两边取指数，可得：
$|y| = e^{x^2 + C}=e^C\cdot e^{x^2}$
令$C_3 = \pm e^C$（$C_3\neq0$），则$y = C_3e^{x^2}$。
当$y = 0$时，代入原方程$y' = 2xy$，左边$y' = 0$，右边$2x\times0 = 0$，等式成立，所以$y = 0$也是方程的解。
此时可令$C_3 = 0$，则通解可统一表示为$y = Ce^{x^2}$（$C$为任意常数）。