题目
如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=30°的足够长斜面，斜面底部有一固定挡板。一足够长的木板位于斜面底端，木板质量为5m，在木板上端有一质量为m的物块。已知木板与斜面之间的动摩擦因数μ1=(sqrt(3))/(3)，物块与木板之间的动摩擦因数μ2=(sqrt(3))/(2)，重力加速度g取10m/s2。现给木板一个沿斜面向上的初速度v0=37.5m/s，同时给物块一个大小也为v0、方向沿斜面向下的初速度。假设每次木板与挡板碰撞前后速度大小不变，求：（sin30°=(1)/(2)，cos30°=(sqrt(3))/(2)，你可能会用到a+aq+aq2+aq3+……+aqn-1=(a（1-(q)^n）)/(1-q)）（1）刚开始运动时物块和木板的加速度的大小；（2）经多长时间木板与挡板第一次发生碰撞；（3）最终物块与木板上端之间的距离（结果可用分数表示）。⊥
如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=30°的足够长斜面，斜面底部有一固定挡板。一足够长的木板位于斜面底端，木板质量为5m，在木板上端有一质量为m的物块。已知木板与斜面之间的动摩擦因数μ1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，物块与木板之间的动摩擦因数μ2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，重力加速度g取10m/s2。现给木板一个沿斜面向上的初速度v0=37.5m/s，同时给物块一个大小也为v0、方向沿斜面向下的初速度。假设每次木板与挡板碰撞前后速度大小不变，求：（sin30°=$\frac{1}{2}$，cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，你可能会用到a+aq+aq2+aq3+……+aqn-1=$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$）
（1）刚开始运动时物块和木板的加速度的大小；
（2）经多长时间木板与挡板第一次发生碰撞；
（3）最终物块与木板上端之间的距离（结果可用分数表示）。
（1）刚开始运动时物块和木板的加速度的大小；
（2）经多长时间木板与挡板第一次发生碰撞；
（3）最终物块与木板上端之间的距离（结果可用分数表示）。
题目解答
答案
解：（1）刚开始运动时物块和木板的加速度的大小分别为a1和a2
以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：μ2mgcosθ-mgsinθ=ma1
代入数据解得物块的加速度：a1=2.5m/s2
以木板为研究对象，根据牛顿第二定律得：5mgsinθ+μ2×6mgcosθ+μ2mgcosθ=5ma2
代入数据解得木板的加速度：a2=12.5m/s2
（2）当木板速度减小到零时，经过的时间为${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}=\frac{37.5}{12.5}s=3s$
此时物块的速度大小为v块1=v0-a1t1=37.5m/s-2.5×3m/s=30m/s
该段时间内木板的位移沿斜面向上，位移x块1=$\frac{1}{2}$v0t1=$\frac{1}{2}$×37.5×3m=56.25m
过后木板开始向下运动，对木板有：5mgsinθ+μ2mgcosθ-μ2×6mgcosθ=5ma3
代入数据解得：a3=0.5m/s2
若木板一直加速到与挡板碰撞，有x块2=$\frac{1}{2}$a3t22
代入数据解得：t2=15s
此时木板和物块的速度分别为v板=a3t2=0.5×15m/s=7.5m/s
v块2=v块1-a1t2=30m/s-2.5×15m/s=-7.5m/s
所以假设不成立；设共速时间为t3，有a3t3=v块1-a1t3
代入数据解得t3=10s
木板和物块的共同速度为v共=a3t3=0.5×10m/s=5m/s
该段时间内木板的位移沿斜面向下为${x}_{板2}=\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}=\frac{1}{2}×0.5×1{0}^{2}m=25m$
因为有μ1＜μ2，所以此后物块与木板不发生相对滑动，共同加速度为a4=gsinθ-μ1gconθ=0
即物块与木板一起匀速运动，从开始匀速运动到与挡板碰撞的时间为t4=$\frac{{x}_{板1}-{x}_{板2}}{{v}_{共}}=\frac{56.25-25}{5}$s=6.25s
所以木板与挡板第一次发生碰撞的时间为t=t1+t3+t4=3s+10s+6.25s=19.25s
（3）第一次木板与挡板碰撞时木块与木板上端之间的距离为x1=$\frac{{v}_{0}+{v}_{共}}{2}（{t}_{1}+{t}_{3}）+\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}-\frac{{v}_{共}}{2}{t}_{3}$
代入数据解得：x1=307.5m
根据题意第一次碰撞后木块以v0′=v共=5m/s沿斜面向下运动，木板以v0′=v共=5m/s沿斜面向上运动；
分析可得此时与刚开始运动时仅初速度大小不同，所以对第二次的碰撞过程中有t1′=$\frac{{v}_{0}′}{{v}_{0}}{t}_{1}=\frac{2}{15}{t}_{1}$，t3′=$\frac{2}{15}$t3，v0″=$\frac{2}{15}$v0′
可得第二次碰后木块与木板上端之间的距离增加量为x2=$（\frac{2}{15}）^{2}{x}_{1}=\frac{4}{225}{x}_{1}$
所以有最终物块与木板上端之间的总距离为x总=x1+$\frac{4}{225}$x1+$（\frac{4}{225}）^{2}$x1+……+$（\frac{4}{225}）^{n}$x1=$\frac{{x}_{1}[1-（\frac{4}{225}）^{n}]}{1-\frac{4}{225}}$
n→∞，$（\frac{4}{225}）^{n}$→0，则x总=$\frac{138375}{442}$m
答：（1）刚开始运动时物块和木板的加速度的大小分别是2.5m/s2、12.5m/s2；
（2）经过19.25s木板与挡板第一次发生碰撞；
（3）最终物块与木板上端之间的距离是$\frac{138375}{442}$m。
以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：μ2mgcosθ-mgsinθ=ma1
代入数据解得物块的加速度：a1=2.5m/s2
以木板为研究对象，根据牛顿第二定律得：5mgsinθ+μ2×6mgcosθ+μ2mgcosθ=5ma2
代入数据解得木板的加速度：a2=12.5m/s2
（2）当木板速度减小到零时，经过的时间为${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}=\frac{37.5}{12.5}s=3s$
此时物块的速度大小为v块1=v0-a1t1=37.5m/s-2.5×3m/s=30m/s
该段时间内木板的位移沿斜面向上，位移x块1=$\frac{1}{2}$v0t1=$\frac{1}{2}$×37.5×3m=56.25m
过后木板开始向下运动，对木板有：5mgsinθ+μ2mgcosθ-μ2×6mgcosθ=5ma3
代入数据解得：a3=0.5m/s2
若木板一直加速到与挡板碰撞，有x块2=$\frac{1}{2}$a3t22
代入数据解得：t2=15s
此时木板和物块的速度分别为v板=a3t2=0.5×15m/s=7.5m/s
v块2=v块1-a1t2=30m/s-2.5×15m/s=-7.5m/s
所以假设不成立；设共速时间为t3，有a3t3=v块1-a1t3
代入数据解得t3=10s
木板和物块的共同速度为v共=a3t3=0.5×10m/s=5m/s
该段时间内木板的位移沿斜面向下为${x}_{板2}=\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}=\frac{1}{2}×0.5×1{0}^{2}m=25m$
因为有μ1＜μ2，所以此后物块与木板不发生相对滑动，共同加速度为a4=gsinθ-μ1gconθ=0
即物块与木板一起匀速运动，从开始匀速运动到与挡板碰撞的时间为t4=$\frac{{x}_{板1}-{x}_{板2}}{{v}_{共}}=\frac{56.25-25}{5}$s=6.25s
所以木板与挡板第一次发生碰撞的时间为t=t1+t3+t4=3s+10s+6.25s=19.25s
（3）第一次木板与挡板碰撞时木块与木板上端之间的距离为x1=$\frac{{v}_{0}+{v}_{共}}{2}（{t}_{1}+{t}_{3}）+\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}-\frac{{v}_{共}}{2}{t}_{3}$
代入数据解得：x1=307.5m
根据题意第一次碰撞后木块以v0′=v共=5m/s沿斜面向下运动，木板以v0′=v共=5m/s沿斜面向上运动；
分析可得此时与刚开始运动时仅初速度大小不同，所以对第二次的碰撞过程中有t1′=$\frac{{v}_{0}′}{{v}_{0}}{t}_{1}=\frac{2}{15}{t}_{1}$，t3′=$\frac{2}{15}$t3，v0″=$\frac{2}{15}$v0′
可得第二次碰后木块与木板上端之间的距离增加量为x2=$（\frac{2}{15}）^{2}{x}_{1}=\frac{4}{225}{x}_{1}$
所以有最终物块与木板上端之间的总距离为x总=x1+$\frac{4}{225}$x1+$（\frac{4}{225}）^{2}$x1+……+$（\frac{4}{225}）^{n}$x1=$\frac{{x}_{1}[1-（\frac{4}{225}）^{n}]}{1-\frac{4}{225}}$
n→∞，$（\frac{4}{225}）^{n}$→0，则x总=$\frac{138375}{442}$m
答：（1）刚开始运动时物块和木板的加速度的大小分别是2.5m/s2、12.5m/s2；
（2）经过19.25s木板与挡板第一次发生碰撞；
（3）最终物块与木板上端之间的距离是$\frac{138375}{442}$m。