[题目]一物体作简谐振动,振动方程为-|||-=Acos (omega t+dfrac (1)(2)pi ) 则该物体在 t=0 时刻的动能-|||-与 =dfrac (T)(8)(T 为振动周期)时刻的动能之比为-|||-()-|||-A.1:4-|||-B.1:2-|||-C.1:1-|||-D.2:1-|||-E.4:1

考查要点：本题主要考查简谐振动的速度计算及动能与速度的关系，需要掌握振动方程求导得到速度表达式，并利用动能公式进行比值计算。

解题核心思路：

1. 求速度表达式：对振动方程求导得到速度表达式。
2. 计算两个时刻的速度：分别代入$t=0$和$t=T/8$，计算对应的速度大小。
3. 动能比值：根据动能公式$E_k = \frac{1}{2}mv^2$，求出动能之比。

破题关键点：

• 正确求导：注意导数运算中符号和相位的变化。
• 周期与角频率关系：利用$T = \frac{2\pi}{\omega}$将时间$t=T/8$转化为与$\omega$相关的表达式。
• 三角函数化简：正确计算$\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$在特定时间的值。

步骤1：求速度表达式

振动方程为：
$x = A\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$
对时间求导得速度：
$v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$

步骤2：计算$t=0$时刻的速度

代入$t=0$：
$v_1 = -A\omega \sin\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) = -A\omega \cdot 1 = -A\omega$
此时动能为：
$E_{k1} = \frac{1}{2}m v_1^2 = \frac{1}{2}m (A\omega)^2$

步骤3：计算$t=T/8$时刻的速度

周期$T = \frac{2\pi}{\omega}$，故$t = \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4\omega}$。代入速度表达式：
$v_2 = -A\omega \sin\left(\omega \cdot \frac{\pi}{4\omega} + \frac{\pi}{2}\right) = -A\omega \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right)$
化简相位：
$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$
因此：
$v_2 = -A\omega \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -A\omega \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
此时动能为：
$E_{k2} = \frac{1}{2}m v_2^2 = \frac{1}{2}m \left(A\omega \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}m (A\omega)^2 \cdot \frac{1}{2}$

步骤4：求动能之比

$\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{\frac{1}{2}m (A\omega)^2}{\frac{1}{4}m (A\omega)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2$
故动能之比为$2:1$，对应选项D。