(3)设a1,a2,β1,β2均是3维列向量,且α1,α2线性无关,β1β2线性无关,-|||-证明存在非零向量y,使得y既可由α1 α2线性表出也可由β1,β2线性表出.-|||-1 2 -3 [0-|||-当 _(1)= 0 _(2)= -1 β1= 2 β2= 1 时,求出所有的向量Y.-|||-2. 3 -5 1

步骤 1：证明存在非零向量y
由于α1,α2,β1,β2是4个3维向量，根据线性代数中的基本定理，4个3维向量必线性相关。因此，存在不全为零的常数k1,k2,l1,l2，使得
\[ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + l_1\beta_1 + l_2\beta_2 = 0 \]
由于α1,α2线性无关，β1,β2线性无关，所以k1,k2和l1,l2不能同时为零。不失一般性，假设k1,k2不全为零，那么可以取
\[ y = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = -l_1\beta_1 - l_2\beta_2 \]
这样，y既可由α1,α2线性表出，也可由β1,β2线性表出。

步骤 2：求出所有的向量y
当α1= 0 ,α2= -1 ,β1= 2 ,β2= 1 时，我们解方程组
\[ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + y_1\beta_1 + y_2\beta_2 = 0 \]
即
\[ x_1\begin{bmatrix} 17 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} + y_1\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ -5 \end{bmatrix} + y_2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解这个方程组，得到通解
\[ Y = k\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]
其中k为任意非零常数。