题目

9.一长为L的导体棒CD,在与一均匀磁场垂直的平面内,绕位于 dfrac (L)(3) 处的轴O以匀角速度w沿反时针方向-|||-旋转,磁场方向如图所示,磁感强度大小为B,求导体棒内的感应电动势,并指出哪一端电势较高。

题目解答

答案

解析

本题考查导体棒在均匀磁场中旋转时的感应电动势计算，关键是利用动生电动势公式$d\mathcal{E}=({\bf v}\times{\bf B})\cdot dl$，并结合结合几何关系积分求解。

关键分析

  1. 动生电动势公式：导体棒中任一小段$dl$的的动生电动势$d\mathcal{E}=({\bf v}\times{\bf B})\cdot dl$。因${\bf v}\perp{\bf B}$，故$v\times B=vB$，方向由$v\times B$确定（右手定则）。
  2. 速度分布：棒绕$O$点旋转，任一点$P$到$O$的距离为$1)\(r=x$（$OC$段，$x\in[0,L/3]$）和(2)$2)\(r=L/3 - x$（$OD$段，$x\in[L/3,L]$），此处$x$为棒上坐标，原点设为$C$）。
  3. 电动势方向方向：由右手定则判断，$v\times B$方向沿棒指向$O$，故$OC$段电动势方向从$3)\(C$到$O$，$OD$段从$D$到$O$。

积分计算

1. $OC$段（$x\in[0,L/3]$）

  • $r=x，\(v=\omega x$，$\d\mathcal{E}_1=B\omega xdx$
    -积分：$\mathcal{E}_1=\int_0^{L/3}B\omega xdx=\frac{1}{2}B\omega\left(\frac{L}{3}\right)^2=\frac{1}{18}B\omega L^2$（方向$C\to O\(O$）

2. $OD$段（$x\in[L/3,L]$）

-设$r=L - x$，$v=\omega(L - x)$，$\d\mathcal{E}_2=B\omega(L - x)dx$
-积分$\mathcal{E}_2=\int_{L/3}^LB\omega(L - x)dx=\frac{1}{2}B\omega\left(\frac{2L}{3}\right)^2=\frac{2}{9}B\omega L^2$（方向$D\to\(O$）

总电动势

$\mathcal{E}=\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2=\frac{1}{18}B\omega L^2+\frac{2}{9}B\omega L^2=\frac{1}{6}B\omega L^2$，方向$C$端电势高。