题目
设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（0，1）的简单随机样本， . X 为样本均值，S2为样本方差，则（ ） A. n . X ～N（0，1） B. nS2～χ2（n） C. (n−1) . X S ～t（n-1） D. (n−1) X 2 1 n i＝2 X 2 i ～F（1，n-1）
设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（0，1）的简单随机样本，
为样本均值，S2为样本方差，则（ ）
A. n
～N（0，1）
B. nS2～χ2（n）
C.
～t（n-1）
D.
～F（1，n-1）
| . |
| X |
A. n
| . |
| X |
B. nS2～χ2（n）
C.
(n−1)
| ||
| S |
D.
(n−1)
| |||||
|
题目解答
答案
由正态总体抽样分布的性质知，
| ||||
|
| | n |
| . |
| X |
又：
| ||||
|
| ||||
| S |
而
| (n−1)S2 |
| 12 |
因为：X12～X2（1），
| n |
 |
| i＝2 |
| n |
|
| i＝2 |
所以：
| |||||
|
| (n−1)X12 | |||
|
故应选：D．
解析
步骤 1：样本均值的分布
样本均值
.
X
的分布为
.
X
～N(0, 1/n)，因为样本均值的方差为总体方差除以样本量，即
Var(.
X
) = 1/n。因此，n
.
X
～N(0, 1)。选项A正确。
步骤 2：样本方差的分布
样本方差 S^{2} 的分布为 (n-1)S^{2}～χ^{2}(n-1)，因为样本方差的分布与卡方分布有关。选项B错误，因为nS^{2}～χ^{2}(n)不成立。
步骤 3：样本均值与样本方差的比值
样本均值与样本方差的比值
(n−1)
.
X
S
～t(n-1)，因为样本均值与样本方差的比值服从t分布。选项C正确。
步骤 4：F分布
F分布的定义为两个独立的卡方分布的比值，其中分子的自由度为1，分母的自由度为n-1。因此，
(n−1)
X
2 1
n
i＝2
X
2 i
～F(1, n-1)。选项D正确。
样本均值
.
X
的分布为
.
X
～N(0, 1/n)，因为样本均值的方差为总体方差除以样本量，即
Var(.
X
) = 1/n。因此，n
.
X
～N(0, 1)。选项A正确。
步骤 2：样本方差的分布
样本方差 S^{2} 的分布为 (n-1)S^{2}～χ^{2}(n-1)，因为样本方差的分布与卡方分布有关。选项B错误，因为nS^{2}～χ^{2}(n)不成立。
步骤 3：样本均值与样本方差的比值
样本均值与样本方差的比值
(n−1)
.
X
S
～t(n-1)，因为样本均值与样本方差的比值服从t分布。选项C正确。
步骤 4：F分布
F分布的定义为两个独立的卡方分布的比值，其中分子的自由度为1，分母的自由度为n-1。因此，
(n−1)
X
2 1
n
i＝2
X
2 i
～F(1, n-1)。选项D正确。