题目
15 设f''(a)存在，f'(a)neq0.则lim_(xto a)[(1)/(f'(a)(x-a))-(1)/(f(x)-f(a))]=____.
15 设$f''(a)$存在，$f'(a)\neq0$.则$\lim_{x\to a}\left[\frac{1}{f'(a)(x-a)}-\frac{1}{f(x)-f(a)}\right]=$____.
题目解答
答案
将原极限表达式合并为一个分数：
\[
\lim_{x \to a} \frac{(f(x) - f(a)) - f'(a)(x-a)}{f'(a)(x-a)(f(x) - f(a))}.
\]
利用泰勒展开 $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + o((x-a)^2)$，代入分子得：
\[
(f(x) - f(a)) - f'(a)(x-a) = \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + o((x-a)^2).
\]
分母展开为：
\[
f'(a)(x-a)(f(x) - f(a)) = [f'(a)]^2(x-a)^2 + o((x-a)^2).
\]
取极限得：
\[
\lim_{x \to a} \frac{\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2}{[f'(a)]^2(x-a)^2} = \frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}}$
解析
步骤 1：合并为一个分数
将原极限表达式合并为一个分数： \[ \lim_{x \to a} \frac{(f(x) - f(a)) - f'(a)(x-a)}{f'(a)(x-a)(f(x) - f(a))}. \]
步骤 2：利用泰勒展开
利用泰勒展开 $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + o((x-a)^2)$，代入分子得： \[ (f(x) - f(a)) - f'(a)(x-a) = \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + o((x-a)^2). \]
步骤 3：分母展开
分母展开为： \[ f'(a)(x-a)(f(x) - f(a)) = [f'(a)]^2(x-a)^2 + o((x-a)^2). \]
步骤 4：取极限
取极限得： \[ \lim_{x \to a} \frac{\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2}{[f'(a)]^2(x-a)^2} = \frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}. \]
将原极限表达式合并为一个分数： \[ \lim_{x \to a} \frac{(f(x) - f(a)) - f'(a)(x-a)}{f'(a)(x-a)(f(x) - f(a))}. \]
步骤 2：利用泰勒展开
利用泰勒展开 $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + o((x-a)^2)$，代入分子得： \[ (f(x) - f(a)) - f'(a)(x-a) = \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + o((x-a)^2). \]
步骤 3：分母展开
分母展开为： \[ f'(a)(x-a)(f(x) - f(a)) = [f'(a)]^2(x-a)^2 + o((x-a)^2). \]
步骤 4：取极限
取极限得： \[ \lim_{x \to a} \frac{\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2}{[f'(a)]^2(x-a)^2} = \frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}. \]