题目

6.求lim_(xtoinfty)x^2(e^(1)/(x^(2))-1).

6.求$\lim_{x\to\infty}x^{2}(e^{\frac{1}{x^{2}}}-1)$.

题目解答

答案

令 $ u = \frac{1}{x^2} $，当 $ x \to \infty $ 时，$ u \to 0 $。原式可化为： \[ \lim_{x \to \infty} x^2 \left( e^{\frac{1}{x^2}} - 1 \right) = \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} \] 由等价无穷小 $ e^u - 1 \sim u $（当 $ u \to 0 $ 时），得： \[ \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{u}{u} = 1 \] 或者，使用泰勒展开 $ e^u = 1 + u + O(u^2) $，有： \[ \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{u + O(u^2)}{u} = 1 \] 因此，原极限为 $ \boxed{1} $。

解析

考查要点：本题主要考查变量替换法和等价无穷小替换的应用，以及如何处理形如“∞×0”型的极限问题。

解题核心思路：
当变量$x$趋向于无穷大时，$\frac{1}{x^2}$趋向于0。通过变量替换$u = \frac{1}{x^2}$，将原式转化为关于$u$的表达式，利用等价无穷小$e^u - 1 \sim u$（当$u \to 0$时）简化计算，从而求得极限值。

破题关键点：

  1. 变量替换将原式中的复杂形式转化为更易处理的表达式；
  2. 等价无穷小替换或泰勒展开直接简化分式结构，快速得出极限结果。

步骤1：变量替换
令$u = \frac{1}{x^2}$，当$x \to \infty$时，$u \to 0$。原式可变形为：
$\lim_{x \to \infty} x^2 \left( e^{\frac{1}{x^2}} - 1 \right) = \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u}.$

步骤2：应用等价无穷小或泰勒展开

  • 等价无穷小法：当$u \to 0$时，$e^u - 1 \sim u$，因此：
    $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{u}{u} = 1.$
  • 泰勒展开法：将$e^u$展开为$1 + u + O(u^2)$，代入得：
    $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{u + O(u^2)}{u} = \lim_{u \to 0} \left( 1 + O(u) \right) = 1.$

结论：原极限值为$\boxed{1}$。