题目

(4)设总体X服从参数为p的几何分布，即PX=x=p(1-p)^x-1(x=1,2,...),其中p未知，0<1.X_(1),X_(2),...,X_(n)是取自总体X的一个样本，求p的最大似然估计量.

(4)设总体X服从参数为p的几何分布，即 $P\{X=x\}=p(1-p)^{x-1}(x=1,2,\cdots),$ 其中p未知，0

<1.$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是取自总体X的一个样本，求p的最大似然估计量.

题目解答

答案

似然函数为： \[ L(p) = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n X_i - n}. \] 取对数得： \[ \ln L(p) = n \ln p + \left( \sum_{i=1}^n X_i - n \right) \ln (1-p). \] 求导并令其为零： \[ \frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{n}{p} - \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n}{1-p} = 0. \] 解得： \[ p = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{1}{\overline{X}}. \] **答案：** \[ \boxed{\frac{1}{\overline{X}}} \]

解析

本题考察几何分布参数的最大似然估计，核心思路是通过构造似然函数、取对数转化为线性形式、求导并令导数为零来求解参数估计量，具体步骤如下：

步骤1：构造似然函数

总体$X$服从参数为$p$的几何分布，概率质量函数为$P\{X=x\}=p(1-p)^{x-1}$（$x=1,2,\cdots$）。
样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$的似然函数为各样本概率的乘积：
$L(p)=\prod_{i=1}^n P\{X_i=x_i\}=\prod_{i=1}^n \left[p(1-p)^{x_i-1}\right]$
化简得：
$L(p)=p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-1)}=p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i -n}$

步骤2：取对数似然函数

为简化求导，对似然函数取自然对数：
$\ln L(p)=n\ln p + \left(\sum_{i=1}^n x_i -n\right)\ln(1-p)$

步骤3：求导并令导数为零

对$\ln L(p)$关于$p$求导，令导数等于0：
$\frac{d\ln L(p)}{dp}=\frac{n}{p} - \frac{\sum_{i=1}^n x_i -n}{1-p}=0$

步骤4：解方程得估计量

整理方程：
$\frac{n}{p}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i -n}{1-p}$
交叉相乘：
$n(1-p)=p\left(\sum_{i=1}^n x_i -n\right)$
展开并移项：
$n=n p + p\sum_{i=1}^n x_i -n p \implies n=p\sum_{i=1}^n x_i$
解得：
$\hat{p}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}=\frac{1}{\overline{X}} \quad (\text{其中}\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\text{为样本均值})$