题目

两同方向同频率的简谐振动y_1和y_2，其振动方程分别为y_1 = A cos omega t，y_2 = (3)/(4) A cos ( omega t + (pi)/(2) )，则合振幅等于____A。（请以小数形式填写答案，写到小数点后两位）

两同方向同频率的简谐振动$y_1$和$y_2$，其振动方程分别为$y_1 = A \cos \omega t$，$y_2 = \frac{3}{4} A \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right)$，则合振幅等于____A。（请以小数形式填写答案，写到小数点后两位）

题目解答

答案

根据题目给出的两个简谐振动方程： \[ y_1 = A \cos(\omega t) \] \[ y_2 = \frac{3}{4}A \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \] 可以将 $ y_2 $ 转换为正弦形式： \[ y_2 = \frac{3}{4}A \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{3}{4}A \sin(\omega t) \] 因此，合振动 $ y $ 为： \[ y = y_1 + y_2 = A \cos(\omega t) - \frac{3}{4}A \sin(\omega t) \] 将合振动表示为 $ y = R \cos(\omega t + \phi) $，其中 $ R $ 是合振幅。根据公式： \[ R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\phi_1 - \phi_2)} \] 这里，$ A_1 = A $，$ A_2 = \frac{3}{4}A $，$ \phi_1 = 0 $，$ \phi_2 = \frac{\pi}{2} $。由于 $ \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 $，故： \[ R = \sqrt{A^2 + \left(\frac{3}{4}A\right)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{9}{16}A^2} = \sqrt{\frac{25}{16}A^2} = \frac{5}{4}A = 1.25A \] 因此，合振幅为 $ 1.25A $。答案：1.25

解析

本题考查同方向同频率简谐振动的合成知识。解题思路是先明确两个简谐振动的振幅和相位，再利用同方向同频率简谐振动合成的合振幅公式进行计算。
已知两同方向同频率的简谐振动方程分别为$y_1 = A \cos \omega t$，$y_2 = \frac{3}{4} A \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right)$。
对于简谐振动$y = A\cos(\omega t+\varphi)$，其中$A$为振幅，$\varphi$为初相位。所以在$y_1$中，振幅$A_1 = A$，初相位$\varphi_1 = 0$；在$y_2$中，振幅$A_2=\frac{3}{4}A$，初相位$\varphi_2 = \frac{\pi}{2}$。
同方向同频率简谐振动合成的合振幅公式为$R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2)}$。
将$A_1 = A$，$A_2=\frac{3}{4}A$，$\varphi_1 = 0$，$\varphi_2 = \frac{\pi}{2}$代入公式可得：
$\varphi_1 - \varphi_2=0 - \frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$，而$\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$。
则$R = \sqrt{A^2 + (\frac{3}{4}A)^2 + 2\times A\times\frac{3}{4}A\times\cos(-\frac{\pi}{2})}$
$=\sqrt{A^2 + \frac{9}{16}A^2+ 2\times A\times\frac{3}{4}A\times0}$
$=\sqrt{A^2 + \frac{9}{16}A^2}$
$=\sqrt{\frac{16A^2 + 9A^2}{16}}$
$=\sqrt{\frac{25A^2}{16}}$
$=\frac{5}{4}A = 1.25A$