题目
证明：方程x+cosx=0在区间(-(π)/(2)，(π)/(2))内有且仅有一个实根．
证明：方程x+cosx=0在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$内有且仅有一个实根．
题目解答
答案
证明：令f（x）=x+cosx,x∈$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$，
则f′（x）=1-sinx＞0恒成立，
故f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
因为f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$＞0，f（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，
故函数在$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$内有唯一的零点．
则f′（x）=1-sinx＞0恒成立，
故f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
因为f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$＞0，f（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，
故函数在$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$内有唯一的零点．
解析
步骤 1：定义函数
定义函数f(x) = x + cosx，其中x属于区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$。
步骤 2：求导数
求f(x)的导数f'(x) = 1 - sinx。
步骤 3：分析导数的符号
由于sinx的值域为[-1, 1]，所以1 - sinx的值域为[0, 2]，因此f'(x) > 0，即f(x)在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$上单调递增。
步骤 4：计算端点值
计算f($\frac{π}{2}$) = $\frac{π}{2}$ + cos($\frac{π}{2}$) = $\frac{π}{2}$ > 0，f(-$\frac{π}{2}$) = -$\frac{π}{2}$ + cos(-$\frac{π}{2}$) = -$\frac{π}{2}$ < 0。
步骤 5：应用零点存在定理
由于f(x)在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$上单调递增，且f($\frac{π}{2}$) > 0，f(-$\frac{π}{2}$) < 0，根据零点存在定理，f(x)在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$内有且仅有一个零点，即方程x + cosx = 0在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$内有且仅有一个实根。
定义函数f(x) = x + cosx，其中x属于区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$。
步骤 2：求导数
求f(x)的导数f'(x) = 1 - sinx。
步骤 3：分析导数的符号
由于sinx的值域为[-1, 1]，所以1 - sinx的值域为[0, 2]，因此f'(x) > 0，即f(x)在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$上单调递增。
步骤 4：计算端点值
计算f($\frac{π}{2}$) = $\frac{π}{2}$ + cos($\frac{π}{2}$) = $\frac{π}{2}$ > 0，f(-$\frac{π}{2}$) = -$\frac{π}{2}$ + cos(-$\frac{π}{2}$) = -$\frac{π}{2}$ < 0。
步骤 5：应用零点存在定理
由于f(x)在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$上单调递增，且f($\frac{π}{2}$) > 0，f(-$\frac{π}{2}$) < 0，根据零点存在定理，f(x)在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$内有且仅有一个零点，即方程x + cosx = 0在区间$(-\frac{π}{2}，\frac{π}{2})$内有且仅有一个实根。