题目

16. (10.0分) 设一个质点在xOy平面内沿曲线L:x²+y²=1顺时针移动一周，移动过程中，这个质点受力vec(F)=(4x+6y-2x²y)i+(2x-4y+2xy²)j的作用，求力vec(F)沿曲线L:x²+y²=1顺时针方向一周所作的功。

16. (10.0分) 设一个质点在xOy平面内沿曲线L:x²+y²=1顺时针移动一周，移动过程中，这个质点受力$\vec{F}=(4x+6y-2x²y)i+(2x-4y+2xy²)j$的作用，求力$\vec{F}$沿曲线L:x²+y²=1顺时针方向一周所作的功。

题目解答

答案

为了求出力$\vec{F} = (4x + 6y - 2x^2y) \mathbf{i} + (2x - 4y + 2xy^2) \mathbf{j}$沿曲线 $L: x^2 + y^2 = 1$ 顺时针方向一周所作的功，我们可以使用格林定理。格林定理指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线 $C$ 和由 $C$ 界定的区域 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 在 $D$ 上具有连续的偏导数，那么 \[ \oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 由于我们考虑的是顺时针方向，我们需要使用格林定理的负数。这里，$P = 4x + 6y - 2x^2y$ 和 $Q = 2x - 4y + 2xy^2$。首先，我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2 + 2y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 6 - 2x^2. \] 因此， \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2 + 2y^2) - (6 - 2x^2) = 2x^2 + 2y^2 - 4 = 2(x^2 + y^2) - 4. \] 在区域 $D$（即单位圆盘 $x^2 + y^2 \leq 1$）上，双变量函数 $2(x^2 + y^2) - 4$ 的二重积分是 \[ \iint_D (2(x^2 + y^2) - 4) \, dA. \] 我们使用极坐标 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$，其中 $0 \leq r \leq 1$ 和 $0 \leq \theta \leq 2\pi$。在极坐标中，$x^2 + y^2 = r^2$ 和 $dA = r \, dr \, d\theta$。因此，积分变为 \[ \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r^2 - 4) r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r^3 - 4r) \, dr \, d\theta. \] 我们首先对 $r$ 进行积分： \[ \int_0^1 (2r^3 - 4r) \, dr = \left[ \frac{2r^4}{4} - \frac{4r^2}{2} \right]_0^1 = \left[ \frac{r^4}{2} - 2r^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}. \] 现在，我们对 $\theta$ 进行积分： \[ \int_0^{2\pi} -\frac{3}{2} \, d\theta = -\frac{3}{2} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = -\frac{3}{2} \cdot 2\pi = -3\pi. \] 由于我们考虑的是顺时针方向，我们取这个结果的负数： \[ 3\pi. \] 因此，力$\vec{F}$沿曲线 $L: x^2 + y^2 = 1$ 顺时针方向一周所作的功是 \[ \boxed{3\pi}. \]

解析

考查要点：本题主要考查格林定理的应用，将曲线积分转化为二重积分，并处理曲线方向对积分结果的影响。

解题核心思路：

  1. 识别问题类型：计算向量场沿闭合曲线的功，即计算曲线积分$\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r}$。
  2. 应用格林定理：将曲线积分转换为二重积分，注意曲线方向为顺时针，需调整符号。
  3. 简化积分计算：利用极坐标变换计算二重积分。

破题关键点：

  • 确定$P$和$Q$：从向量场$\vec{F}$中分离出$P$和$Q$。
  • 计算偏导数：准确求出$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$。
  • 处理方向问题：顺时针方向需对格林定理结果取负。
  • 极坐标积分：利用对称性简化积分过程。

步骤1：应用格林定理

格林定理公式为：
$\oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$
由于曲线$L$是顺时针方向，需取负号：
$\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$

步骤2：计算偏导数

  • $P = 4x + 6y - 2x^2y$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 6 - 2x^2$
  • $Q = 2x - 4y + 2xy^2$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2 + 2y^2$

因此：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2 + 2y^2) - (6 - 2x^2) = 2x^2 + 2y^2 - 4$

步骤3：转换为极坐标积分

积分区域$D$为单位圆$x^2 + y^2 \leq 1$，极坐标变换：
$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r \, dr \, d\theta$
积分表达式变为：
$-\iint_D (2x^2 + 2y^2 - 4) dA = -\int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r^2 - 4) r \, dr \, d\theta$

步骤4：计算积分

  1. 对$r$积分：
    $\int_0^1 (2r^3 - 4r) \, dr = \left[ \frac{r^4}{2} - 2r^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$

  2. 对$\theta$积分：
    $-\int_0^{2\pi} \left( -\frac{3}{2} \right) d\theta = -\left( -\frac{3}{2} \cdot 2\pi \right) = 3\pi$