题目
4.(1)在单缝夫琅禾费衍射实验中,垂直入射的光有两种波长, (lambda )_(1)=400nm ,(lambda )_(2)=760nm .已知单缝-|||-宽度 =1.0times (10)^-2cm ,透镜焦距 f=50cm .求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离.-|||-(2)若用光栅常量 =1.0times (10)^-3cm 的光栅替换单缝,其他条件和上一问相同,求两种光第一级主-|||-极大之间的距离.-|||-解:
题目解答
答案
解析
步骤 1：单缝衍射明纹公式
单缝衍射明纹公式为 $a\sin{\varphi} = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$，其中 $a$ 是单缝宽度，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是级数，$\lambda$ 是光波长。对于第一级明纹，$k=1$，因此公式变为 $a\sin{\varphi} = \frac{3}{2}\lambda$。
步骤 2：计算两种光的第一级明纹位置
对于波长为 ${\lambda }_{1}=400nm$ 的光，有 $a\sin{\varphi }_{1} = \frac{3}{2}{\lambda }_{1}$，解得 ${\varphi }_{1} = \arcsin\left(\frac{3}{2}\frac{{\lambda }_{1}}{a}\right)$。
对于波长为 ${\lambda }_{2}=760nm$ 的光，有 $a\sin{\varphi }_{2} = \frac{3}{2}{\lambda }_{2}$，解得 ${\varphi }_{2} = \arcsin\left(\frac{3}{2}\frac{{\lambda }_{2}}{a}\right)$。
步骤 3：计算两种光的第一级明纹中心之间的距离
由于 $\sin{\varphi} \approx \tan{\varphi} = \frac{x}{f}$，其中 $x$ 是明纹中心到透镜中心的距离，$f$ 是透镜焦距。因此，${x}_{1} = f\tan{\varphi }_{1} = f\sin{\varphi }_{1}$，${x}_{2} = f\tan{\varphi }_{2} = f\sin{\varphi }_{2}$。两种光第一级明纹中心之间的距离为 $\Delta x = {x}_{2} - {x}_{1} = f\left(\sin{\varphi }_{2} - \sin{\varphi }_{1}\right)$。
步骤 4：光栅衍射主极大公式
光栅衍射主极大公式为 $d\sin{\varphi} = k\lambda$，其中 $d$ 是光栅常量，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是级数，$\lambda$ 是光波长。对于第一级主极大，$k=1$，因此公式变为 $d\sin{\varphi} = \lambda$。
步骤 5：计算两种光的第一级主极大位置
对于波长为 ${\lambda }_{1}=400nm$ 的光，有 $d\sin{\varphi }_{1} = {\lambda }_{1}$，解得 ${\varphi }_{1} = \arcsin\left(\frac{{\lambda }_{1}}{d}\right)$。
对于波长为 ${\lambda }_{2}=760nm$ 的光，有 $d\sin{\varphi }_{2} = {\lambda }_{2}$，解得 ${\varphi }_{2} = \arcsin\left(\frac{{\lambda }_{2}}{d}\right)$。
步骤 6：计算两种光的第一级主极大之间的距离
由于 $\sin{\varphi} \approx \tan{\varphi} = \frac{x}{f}$，其中 $x$ 是主极大中心到透镜中心的距离，$f$ 是透镜焦距。因此，${x}_{1} = f\tan{\varphi }_{1} = f\sin{\varphi }_{1}$，${x}_{2} = f\tan{\varphi }_{2} = f\sin{\varphi }_{2}$。两种光第一级主极大之间的距离为 $\Delta x = {x}_{2} - {x}_{1} = f\left(\sin{\varphi }_{2} - \sin{\varphi }_{1}\right)$。
单缝衍射明纹公式为 $a\sin{\varphi} = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$，其中 $a$ 是单缝宽度，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是级数，$\lambda$ 是光波长。对于第一级明纹，$k=1$，因此公式变为 $a\sin{\varphi} = \frac{3}{2}\lambda$。
步骤 2：计算两种光的第一级明纹位置
对于波长为 ${\lambda }_{1}=400nm$ 的光，有 $a\sin{\varphi }_{1} = \frac{3}{2}{\lambda }_{1}$，解得 ${\varphi }_{1} = \arcsin\left(\frac{3}{2}\frac{{\lambda }_{1}}{a}\right)$。
对于波长为 ${\lambda }_{2}=760nm$ 的光，有 $a\sin{\varphi }_{2} = \frac{3}{2}{\lambda }_{2}$，解得 ${\varphi }_{2} = \arcsin\left(\frac{3}{2}\frac{{\lambda }_{2}}{a}\right)$。
步骤 3：计算两种光的第一级明纹中心之间的距离
由于 $\sin{\varphi} \approx \tan{\varphi} = \frac{x}{f}$，其中 $x$ 是明纹中心到透镜中心的距离，$f$ 是透镜焦距。因此，${x}_{1} = f\tan{\varphi }_{1} = f\sin{\varphi }_{1}$，${x}_{2} = f\tan{\varphi }_{2} = f\sin{\varphi }_{2}$。两种光第一级明纹中心之间的距离为 $\Delta x = {x}_{2} - {x}_{1} = f\left(\sin{\varphi }_{2} - \sin{\varphi }_{1}\right)$。
步骤 4：光栅衍射主极大公式
光栅衍射主极大公式为 $d\sin{\varphi} = k\lambda$，其中 $d$ 是光栅常量，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是级数，$\lambda$ 是光波长。对于第一级主极大，$k=1$，因此公式变为 $d\sin{\varphi} = \lambda$。
步骤 5：计算两种光的第一级主极大位置
对于波长为 ${\lambda }_{1}=400nm$ 的光，有 $d\sin{\varphi }_{1} = {\lambda }_{1}$，解得 ${\varphi }_{1} = \arcsin\left(\frac{{\lambda }_{1}}{d}\right)$。
对于波长为 ${\lambda }_{2}=760nm$ 的光，有 $d\sin{\varphi }_{2} = {\lambda }_{2}$，解得 ${\varphi }_{2} = \arcsin\left(\frac{{\lambda }_{2}}{d}\right)$。
步骤 6：计算两种光的第一级主极大之间的距离
由于 $\sin{\varphi} \approx \tan{\varphi} = \frac{x}{f}$，其中 $x$ 是主极大中心到透镜中心的距离，$f$ 是透镜焦距。因此，${x}_{1} = f\tan{\varphi }_{1} = f\sin{\varphi }_{1}$，${x}_{2} = f\tan{\varphi }_{2} = f\sin{\varphi }_{2}$。两种光第一级主极大之间的距离为 $\Delta x = {x}_{2} - {x}_{1} = f\left(\sin{\varphi }_{2} - \sin{\varphi }_{1}\right)$。