题目

5.如图 12-34 所示,有一长直导线中通有电流I,附近有一矩形线圈与其共面,并有一对-|||-边与导线平行,线圈以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线。假设当 t=0 时,线圈位于图-|||-示位置,求:-|||-(1)在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量ϕ。-|||-(2)在图示位置时,矩形线圈中的电动势ε。-|||-个-|||-个 l-|||-b-|||-图 12-34

题目解答

本题主要考查了长直导线产生的磁场、磁通量的计算以及法拉第电磁感应定律的应用。解题的关键在于先求出长直导线产生的磁场分布，再通过积分计算磁通量，最后利用法拉第电磁感应定律求出感应电动势。

（1）求在任意时刻$t$通过矩形线圈的磁通量$\phi$

步骤一：确定长直导线产生的磁场分布
根据安培环路定理，长直导线在距离其$r$处产生的磁感应强度大小为$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$，其中$\mu_0$为真空磁导率，$I$为导线中的电流。
步骤二：选取微元并计算磁通量微元
在矩形线圈中，取一个与长直导线平行、宽度为$dr$、长度为$l$的微元，该微元到长直导线的距离为$r$。由于该微元处的磁感应强度$B$可视为均匀的，所以通过该微元的磁通量微元$d\phi = B \cdot dS = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot l \cdot dr$。
步骤三：确定积分区间并计算磁通量
在时刻$t$，矩形线圈靠近长直导线的一边距离长直导线的距离为$a + vt$，远离长直导线的一边距离长直导线的距离为$b + vt$。因此，对磁通量微元从$a + vt$到$b + vt$进行积分，可得：
$\begin{align*}\phi&=\int_{a + vt}^{b + vt} \frac{\mu_0 I l}{2\pi r} dr\\&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \int_{a + vt}^{b + vt} \frac{1}{r} dr\\&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} [\ln r]_{a + vt}^{b + vt}\\&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} (\ln (b + vt) - \ln (a + vt))\\&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \frac{b + vt}{a + vt}\end{align*}$

（2）求在图示位置时，矩形线圈中的电动势$\varepsilon$

步骤一：根据法拉第电磁感应定律求电动势
法拉第电磁感应定律的表达式为$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$。
步骤二：对磁通量$\phi$求导
由（1）可知$\phi = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \frac{b + vt}{a + vt}$，对其求导：
$\begin{align*}\frac{d\phi}{dt}&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{d}{dt} \ln \frac{b + vt}{a + vt}\\&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{1}{\frac{b + vt}{a + vt}} \cdot \frac{d}{dt} \frac{b + vt}{a + vt}\\&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{a + vt}{b + vt} \cdot \frac{v(a + vt) - v(b + vt)}{(a + vt)^2}\\&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{a + vt}{b + vt} \cdot \frac{av + v^2t - bv - v^2t}{(a + vt)^2}\\&=\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{av - bv}{(b + vt)(a + vt)}\\&=\frac{\mu_0 I l v}{2\pi} \cdot \frac{a - b}{(b + vt)(a + vt)}\end{align*}$
步骤三：在图示位置（$t = 0$）求电动势
将$t = 0$代入上式，可得：
$\begin{align*}\varepsilon&=-\frac{d\phi}{dt}\big|_{t = 0}\\&=-\frac{\mu_0 I l v}{2\pi} \cdot \frac{a - b}{(b + 0)(a + 0)}\\&=\frac{\mu_0 I l v}{2\pi} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})\end{align*}$