题目
[题目]设函数 y=y(x) 由参数方程( { ln 2+3-|||-B. -dfrac {1)(8)ln 2+3-|||-C. -8ln 2+3-|||-D. ln 2+3
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定参数方程的值
由参数方程 $x=t^2+2t$，当 $x=3$ 时，解方程 $t^2+2t=3$，得到 $t=1$ 或 $t=-3$。由于 $t=-3$ 时，$y$ 无意义，因此取 $t=1$。
步骤 2：计算导数
由参数方程 $x=t^2+2t$ 和 $y=\ln(1+t)$，计算导数 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{1}{1+t}}{2t+2}=\frac{1}{(1+t)(2t+2)}$。当 $t=1$ 时，$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1+1)(2+2)}=\frac{1}{8}$。
步骤 3：确定法线方程
在 $x=3$ 处，$y=\ln(1+1)=\ln 2$，因此法线斜率为 $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=-8$。法线方程为 $y-\ln 2=-8(x-3)$。
步骤 4：求法线与x轴交点的横坐标
令 $y=0$，解方程 $0-\ln 2=-8(x-3)$，得到 $x=\frac{\ln 2}{8}+3$。
由参数方程 $x=t^2+2t$，当 $x=3$ 时，解方程 $t^2+2t=3$，得到 $t=1$ 或 $t=-3$。由于 $t=-3$ 时，$y$ 无意义，因此取 $t=1$。
步骤 2：计算导数
由参数方程 $x=t^2+2t$ 和 $y=\ln(1+t)$，计算导数 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{1}{1+t}}{2t+2}=\frac{1}{(1+t)(2t+2)}$。当 $t=1$ 时，$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1+1)(2+2)}=\frac{1}{8}$。
步骤 3：确定法线方程
在 $x=3$ 处，$y=\ln(1+1)=\ln 2$，因此法线斜率为 $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=-8$。法线方程为 $y-\ln 2=-8(x-3)$。
步骤 4：求法线与x轴交点的横坐标
令 $y=0$，解方程 $0-\ln 2=-8(x-3)$，得到 $x=\frac{\ln 2}{8}+3$。