题目
函数 y= { ,xgt 0 . 的反函数是
题目解答
答案
$$y=\cases { {1-x\over 2+x} ,-2
解析
步骤 1：求解 $x \leqslant 0$ 时的反函数
对于 $y = x^2 + 1$，当 $x \leqslant 0$ 时，我们有 $y \geqslant 1$。解出 $x$，得到 $x = -\sqrt{y-1}$。因此，当 $y \geqslant 1$ 时，反函数为 $x = -\sqrt{y-1}$。
步骤 2：求解 $x > 0$ 时的反函数
对于 $y = \dfrac{1-2x}{1+x}$，当 $x > 0$ 时，我们有 $y < 1$。解出 $x$，得到 $x = \dfrac{1-y}{2+y}$。因此，当 $y < 1$ 时，反函数为 $x = \dfrac{1-y}{2+y}$。
步骤 3：确定反函数的定义域
对于 $x = -\sqrt{y-1}$，定义域为 $y \geqslant 1$。对于 $x = \dfrac{1-y}{2+y}$，定义域为 $y < 1$。因此，反函数的定义域为 $y < 1$ 或 $y \geqslant 1$，即 $y \in (-\infty, 1) \cup [1, +\infty)$。
对于 $y = x^2 + 1$，当 $x \leqslant 0$ 时，我们有 $y \geqslant 1$。解出 $x$，得到 $x = -\sqrt{y-1}$。因此，当 $y \geqslant 1$ 时，反函数为 $x = -\sqrt{y-1}$。
步骤 2：求解 $x > 0$ 时的反函数
对于 $y = \dfrac{1-2x}{1+x}$，当 $x > 0$ 时，我们有 $y < 1$。解出 $x$，得到 $x = \dfrac{1-y}{2+y}$。因此，当 $y < 1$ 时，反函数为 $x = \dfrac{1-y}{2+y}$。
步骤 3：确定反函数的定义域
对于 $x = -\sqrt{y-1}$，定义域为 $y \geqslant 1$。对于 $x = \dfrac{1-y}{2+y}$，定义域为 $y < 1$。因此，反函数的定义域为 $y < 1$ 或 $y \geqslant 1$，即 $y \in (-\infty, 1) \cup [1, +\infty)$。