一质点参与两同方向的谐振动，其合振动方程为 X = 5sqrt(2) cos (4pi t + pi/2) , (cm) 一个分振动方程为 X_1 = 5 cos (4pi t + 3pi/4) , (cm)，另一分振动方程为:A. X_2 = 5 cos (4pi t + pi/4) , (cm)B. X_2 = 5 cos (4pi t - pi/4) , (cm)C. X_2 = 5 cos (4pi t + 3pi/4) , (cm)D. X_2 = 5 cos (4pi t - 3pi/4) , (cm)

本题考查同方向同频率简谐振动的合成知识。解题思路是根据简谐振动合成的原理，已知合振动方程和一个分振动方程，通过振动合成的公式求出另一个分振动方程。

简谐振动的表达式为$x = A\cos(\omega t+\varphi)$，对于同方向同频率的两个简谐振动$x_1 = A_1\cos(\omega t+\varphi_1)$和$x_2 = A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$，其合振动$x = x_1 + x_2=A\cos(\omega t+\varphi)$，其中合振动的振幅$A$满足$A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})$，合振动的初相位$\varphi$满足$\tan\varphi=\frac{A_{1}\sin\varphi_{1}+A_{2}\sin\varphi_{2}}{A_{1}\cos\varphi_{1}+A_{2}\cos\varphi_{2}}$。

已知合振动方程$X = 5\sqrt{2} \cos (4\pi t + \pi/2) \, \text{cm}$，则合振动的振幅$A = 5\sqrt{2}$，初相位$\varphi=\frac{\pi}{2}$；一个分振动方程为$X_1 = 5 \cos (4\pi t + 3\pi/4) \, \text{cm}$，则该分振动的振幅$A_1 = 5$，初相位$\varphi_1=\frac{3\pi}{4}$。

设另一个分振动的振幅为$A_2$，初相位为$\varphi_2$。

1. 先求$A_2$：
   根据合振动振幅公式$A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})$，将$A = 5\sqrt{2}$，$A_1 = 5$代入可得：
   $(5\sqrt{2})^{2}=5^{2}+A_{2}^{2}+2\times5\times A_{2}\cos(\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4})$
   $50 = 25+A_{2}^{2}+10A_{2}\cos(\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4})$
   $A_{2}^{2}+10A_{2}\cos(\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4})-25 = 0$
   假设$A_2 = 5$（因为选项中振幅均为$5$），代入上式得：
   $25+10\times5\cos(\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4})-25 = 0$
   $50\cos(\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4}) = 0$
   $\cos(\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4}) = 0$
   则$\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$。
2. 再求$\varphi_2$：
   • 当$\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$时，$\varphi_{2}=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+2k\pi=\frac{5\pi}{4}+2k\pi$。
   • 当$\varphi_{2}-\frac{3\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$时，$\varphi_{2}=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{2}+2k\pi=\frac{\pi}{4}+2k\pi$。
     取$k = 0$，$\varphi_{2}=\frac{\pi}{4}$符合选项。
     所以另一个分振动方程为$X_2 = 5 \cos (4\pi t + \pi/4) \, \text{cm}$。