在一根通有电流I的长直导线旁,与之共面地放着一个长,宽各为a和b的矩形线框,线框的长边与载流长直导线平行,且二者相距为b,如图所示,在此情况下,线框内的磁通量 。

考查要点：本题主要考查磁场中磁通量的计算，涉及长直导线产生的磁场分布及积分法的应用。

解题核心思路：

1. 确定磁场分布：长直导线的磁场满足环形对称性，磁感应强度公式为 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$，其中 $x$ 是到导线的距离。
2. 建立积分元：将线框沿磁场变化方向（垂直于导线方向）分割为无数个面元，每个面元的面积为 $dS = a \, dx$。
3. 积分求总磁通量：对磁场在面元上的磁通量进行积分，积分上下限由线框的宽度决定。

破题关键点：

• 正确确定积分上下限：线框的两条长边分别距离导线为 $b$ 和 $2b$（宽度为 $b$）。
• 理解磁通量的叠加性：通过积分将各面元的磁通量累加。

磁场分布与面元分析

长直导线产生的磁场为环形分布，磁感应强度大小为：
$B(x) = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$
其中 $x$ 是到导线的垂直距离。

线框的长边长度为 $a$，宽度为 $b$，且长边与导线平行。线框的两条长边分别位于 $x = b$ 和 $x = 2b$ 处（宽度为 $b$）。

磁通量积分计算

取垂直于导线方向的微小面元，其面积为：
$dS = a \, dx$
通过该面元的磁通量为：
$d\Phi = B(x) \cdot dS = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x} \cdot a \, dx$

总磁通量为积分：
$\Phi = \int_{b}^{2b} \dfrac{\mu_0 I a}{2\pi x} \, dx$

积分求解

积分结果为：
$\Phi = \dfrac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln \dfrac{2b}{b} = \dfrac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln 2$