题目

2. 已知a²+b²+c²=8，ab-bc-ca=4，求(a+b-c)².

2. 已知a²+b²+c²=8，ab-bc-ca=4，求(a+b-c)².

题目解答

答案

展开 $(a+b-c)^2$ 得： \[ (a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca \] 已知 $a^2 + b^2 + c^2 = 8$ 和 $ab - bc - ca = 4$，代入得： \[ (a+b-c)^2 = 8 + 2 \times 4 = 16 \] **答案：** $\boxed{16}$

解析

考查要点：本题主要考查完全平方公式的灵活运用，以及代数式的代入求值能力。
解题核心思路：将目标表达式 $(a+b-c)^2$ 展开，结合已知条件 $a^2 + b^2 + c^2 = 8$ 和 $ab - bc - ca = 4$，通过代入法直接求解。
破题关键点：

  1. 正确展开完全平方公式，注意符号变化；
  2. 识别展开式中的公共因子，将已知条件整体代入。

  1. 展开目标表达式
    根据完全平方公式：
    $(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

  2. 代入已知条件

    • 已知 $a^2 + b^2 + c^2 = 8$，直接代入展开式中的平方项部分；
    • 已知 $ab - bc - ca = 4$，将其乘以 $2$ 后代入展开式的交叉项部分：
      $2(ab - bc - ca) = 2 \times 4 = 8$

  3. 合并结果
    将两部分相加：
    $(a+b-c)^2 = 8 + 8 = 16$