题目

12.一质量为m、半径为R的均匀圆柱开始时以角速度 ∠-|||-w0绕其对称轴旋转,现将其轻轻放在水平桌面上释放,如-|||-R-|||-图所示。已知圆柱与桌面之间的滑动磨檫系数为μ,则在-|||-圆柱开始做纯滚动的瞬间,其总动能等于金-|||-__

题目解答

答案

解析

本题考查刚体的转动、角动量守恒以及动能的计算。解题的关键思路是先根据角动量守恒求出圆柱开始做纯滚动瞬间的角速度，再根据纯滚动时的动能公式计算总动能。

  1. 确定圆柱的转动惯量：
    • 对于绕对称轴旋转的均匀圆柱，其对圆心的转动惯量$J_1=\frac{1}{2}mR^{2}$。
    • 根据平行轴定理$J = J_0+md^{2}$（其中$J_0$是对质心的转动惯量，$d$是质心到新轴的距离），对于绕与桌面接触点转动的圆柱，$J_2=J_1 + mR^{2}=\frac{1}{2}mR^{2}+mR^{2}=\frac{3}{2}mR^{2}$。
  2. 利用角动量守恒定律：
    • 圆柱在开始做纯滚动前，只有摩擦力作用，但摩擦力对接触点的力矩为零，所以系统对接触点的角动量守恒。
    • 初始时圆柱绕对称轴以角速度$\omega_0$转动，对接触点的角动量$L_1 = J_1\omega_0=\frac{1}{2}mR^{2}\omega_0$。
    • 设圆柱开始做纯滚动瞬间的角速度为$\omega$，此时对接触点的角动量$L_2 = J_2\omega=\frac{3}{2}mR^{2}\omega$。
    • 由角动量守恒$L_1 = L_2$，即$\frac{1}{2}mR^{2}\omega_0=\frac{3}{2}mR^{2}\omega$，解得$\omega=\frac{1}{3}\omega_0$。
  3. 计算圆柱开始做纯滚动瞬间的总动能：
    • 刚体做纯滚动时的总动能$E_{k}=\frac{1}{2}J_2\omega^{2}$。
    • 将$J_2=\frac{3}{2}mR^{2}$和$\omega=\frac{1}{3}\omega_0$代入上式，可得$E_{k}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}mR^{2}\times(\frac{1}{3}\omega_0)^{2}$。
    • 先计算$(\frac{1}{3}\omega_0)^{2}=\frac{1}{9}\omega_0^{2}$，则$E_{k}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}mR^{2}\times\frac{1}{9}\omega_0^{2}$。
    • 再进行乘法运算$\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{1}{9}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$，所以$E_{k}=\frac{1}{12}mR^{2}\omega_0^{2}$。