同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）|5-（-2）|= ____ ；当|5-（-2）|=|x|时，x= ____ ．（2）|x+5|表示 ____ 与 ____ 之间的距离；|x-2|表示 ____ 与 ____ 之间的距离；找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数有 ____ （直接写出答案）（3）由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

考查要点：

1. 绝对值的几何意义：理解绝对值表示数轴上两点间的距离。
2. 绝对值方程的解法：通过代数运算或数轴分析求解绝对值方程。
3. 绝对值表达式的最值问题：结合数轴动态分析表达式的最小值。

解题核心思路：

• （1） 直接计算绝对值，利用绝对值方程的性质求解。
• （2） 将绝对值表达式转化为数轴上点的距离，分区间讨论求和为定值时的整数解。
• （3） 通过数轴分析表达式在不同区间的变化趋势，找到最小值。

第（1）题

第一空：
计算 $|5 - (-2)|$：
$|5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7$
第二空：
由 $|5 - (-2)| = |x|$ 得 $|x| = 7$，解得 $x = \pm 7$。

第（2）题

填空部分：

• $|x + 5|$ 表示 点 $x$ 与点 $-5$ 之间的距离。
• $|x - 2|$ 表示 点 $x$ 与点 $2$ 之间的距离。

求整数解：
目标方程为 $|x + 5| + |x - 2| = 7$，分三种情况讨论：

1. 当 $x > 2$ 时：
   $(x + 5) + (x - 2) = 7 \implies 2x + 3 = 7 \implies x = 2$
   但 $x > 2$ 与解矛盾，无解。

2. 当 $-5 \leq x \leq 2$ 时：
   $(x + 5) + (2 - x) = 7 \implies 7 = 7$
   此时所有 $x$ 均满足，整数解为 $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$。

3. 当 $x < -5$ 时：
   $(-x - 5) + (2 - x) = 7 \implies -2x - 3 = 7 \implies x = -5$
   但 $x < -5$ 与解矛盾，无解。

综上，符合条件的整数为 $-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$。

第（3）题

分析最小值：
表达式 $|x + 3| + |x - 6|$ 表示 点 $x$ 到 $-3$ 和 $6$ 的距离之和。

• 当 $x$ 在 $-3$ 和 $6$ 之间时，距离和为 $6 - (-3) = 9$。
• 当 $x$ 在区间外时，距离和会大于 $9$。

因此，最小值为 $9$。