13.设有质量为5 kg的物体,置于水平面上,受力F的作用而开始移动(图 -5. 设-|||-摩擦系数 mu =0.25, 问力F与水平线的交角α为多少时,才可使力F的大小为最小.

考查要点：本题主要考查力学中的受力分析与极值问题的求解，涉及静摩擦力、三角函数极值的求解方法。

解题核心思路：

1. 受力分析：物体受重力、支持力、摩擦力及外力F的共同作用，需建立平衡方程。
2. 表达式推导：通过平衡方程将F表示为α的函数，转化为数学极值问题。
3. 极值求解：利用导数或三角恒等式求分母的最大值，从而确定F的最小值对应的α。

破题关键点：

• 正确建立平衡方程：水平方向F的分力等于摩擦力，竖直方向支持力与重力、F的竖直分力平衡。
• 将问题转化为分母的最大化：F与分母成反比，故求分母的最大值即可得F的最小值。
• 极值条件的应用：通过导数或三角函数合成公式确定α的最优值。

受力分析与平衡方程

物体受力如图：

• 重力：$mg$（向下）
• 支持力：$N = mg - F\sin\alpha$（向上）
• 摩擦力：$f = \mu N = \mu(mg - F\sin\alpha)$（水平方向）
• 外力F：分解为水平分量$F\cos\alpha$和竖直分量$F\sin\alpha$

水平方向平衡：
$F\cos\alpha = \mu(mg - F\sin\alpha)$

表达式推导

整理方程得：
$F\cos\alpha + \mu F\sin\alpha = \mu mg$
提取$F$：
$F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) = \mu mg$
解得：
$|F| = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}$

求极值

目标：使$|F|$最小，即分母$\cos\alpha + \mu\sin\alpha$最大。
方法：对$\alpha$求导并找极值点。

设$y = \cos\alpha + \mu\sin\alpha$，求导得：
$y' = -\sin\alpha + \mu\cos\alpha$
令$y' = 0$，解得：
$\tan\alpha = \mu \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arctan\mu$

验证极大值：二阶导数$y'' = -\cos\alpha - \mu\sin\alpha$，在$\alpha = \arctan\mu$时，$y'' < 0$，故为极大值点。