题目

22.15 波长为546.1nm的平行光垂直透射到缝宽为1 mm的单缝上,单缝-|||-后面的会聚透镜焦距为100cm,问:第1级暗纹、第1级明纹、第3级暗纹分别-|||-到中央明纹中心的距离各是多少?上述各明、暗纹在单缝上所对应的半波带数-|||-目各为多少?

题目解答

本题考查单缝衍射的相关知识，解题思路是先根据单缝衍射暗纹和明纹的条件公式求出对应的衍射角，再结合透镜成像原理求出各条纹到中央明纹中心的距离，最后根据半波带的概念确定各明、暗纹对应的半波带数目。

1. 求第1级暗纹到中央明纹中心的距离

根据单缝衍射暗纹条件公式：
单缝衍射暗纹条件为$a\sin\theta = k\lambda$（$k = \pm1, \pm2, \cdots$），其中$a$为缝宽，$\theta$为衍射角，$k$为暗纹级数，$\lambda$为波长。
已知$a = 1mm = 1\times10^{-3}m$，$\lambda = 546.1nm = 546.1\times10^{-9}m$，$k = 1$，代入可得：
$\sin\theta_1 = \frac{k\lambda}{a} = \frac{1\times546.1\times10^{-9}}{1\times10^{-3}} = 5.461\times10^{-4}$
由于$\theta_1$很小，$\sin\theta_1\approx\tan\theta_1$。
根据透镜成像原理求距离：
设第$1$级暗纹到中央明纹中心的距离为$x_1$，透镜焦距为$f = 100cm = 1m$，由$\tan\theta_1 = \frac{x_1}{f}$，可得：
$x_1 = f\tan\theta_1\approx f\sin\theta_1 = 1\times5.461\times10^{-4}m = 0.5461mm$
确定第1级暗纹对应的半波带数目：
根据半波带的概念，单缝处的波阵面被分成偶数个半波带时出现暗纹，第$1$级暗纹对应的半波带数目为$2$条。

2. 求第1级明纹到中央明纹中心的距离

根据单缝衍射明纹条件公式：
单缝衍射明纹条件为$a\sin\theta = (2k + 1)\frac{\lambda}{2}$（$k = \pm1, \pm2, \cdots$），已知$k = 1$，代入可得：
$\sin\theta_1' = \frac{(2\times1 + 1)\lambda}{2a} = \frac{3\times546.1\times10^{-9}}{2\times1\times10^{-3}} = 8.1915\times10^{-4}$
由于$\theta_1'$很小，$\sin\theta_1'\approx\tan\theta_1'$。
根据透镜成像原理求距离：
设第$1$级明纹到中央明纹中心的距离为$x_1'$，由$\tan\theta_1' = \frac{x_1'}{f}$，可得：
$x_1' = f\tan\theta_1'\approx f\sin\theta_1' = 1\times8.1915\times10^{-4}m = 0.81915mm\approx0.8190mm$
确定第1级明纹对应的半波带数目：
单缝处的波阵面被分成奇数个半波带时出现明纹，第$1$级明纹对应的半波带数目为$3$条。

3. 求第3级暗纹到中央明纹中心的距离

根据单缝衍射暗纹条件公式：
已知$k = 3$，代入$a\sin\theta = k\lambda$可得：
$\sin\theta_3 = \frac{k\lambda}{a} = \frac{3\times546.1\times10^{-9}}{1\times10^{-3}} = 1.6383\times10^{-3}$
由于$\theta_3$很小，$\sin\theta_3\approx\tan\theta_3$。
根据透镜成像原理求距离：
设第$3$级暗纹到中央明纹中心的距离为$x_3$，由$\tan\theta_3 = \frac{x_3}{f}$，可得：
$x_3 = f\tan\theta_3\approx f\sin\theta_3 = 1\times1.6383\times10^{-3}m = 1.6383mm\approx1.638mm$
确定第3级暗纹对应的半波带数目：
第$3$级暗纹对应的半波带数目为$2\times3 = 6$条。