题目
试求双原子分子理想气体的振动熵．
试求双原子分子理想气体的振动熵．
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定双原子分子的振动能量
双原子分子的振动能量可以表示为 ${\varepsilon }_{n}=(n+\dfrac {1}{2})hv$，其中 $n=0,1,2,...$，$h$ 是普朗克常数，$v$ 是振动频率。
步骤 2：计算单个分子的振动配分函数
单个分子的振动配分函数 $Z_1$ 可以表示为 $Z_1 = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta \varepsilon_n}$，其中 $\beta = \frac{1}{kT}$，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。将振动能量代入，得到 $Z_1 = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta (n+\frac{1}{2})hv} = e^{-\frac{1}{2}\beta hv} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta nhv} = \frac{e^{-\frac{1}{2}\beta hv}}{1 - e^{-\beta hv}}$。
步骤 3：计算双原子分子理想气体的振动熵
双原子分子理想气体的振动熵 $S$ 可以表示为 $S = Nk[\ln Z_1 - \frac{\partial \ln Z_1}{\partial \beta}]$，其中 $N$ 是分子数。将 $Z_1$ 代入，得到 $S = Nk[\ln \frac{e^{-\frac{1}{2}\beta hv}}{1 - e^{-\beta hv}} - \frac{\partial}{\partial \beta} \ln \frac{e^{-\frac{1}{2}\beta hv}}{1 - e^{-\beta hv}}]$。化简得到 $S = Nk[\frac{\theta}{T} \frac{1}{e^{\frac{\theta}{T}} - 1} - \ln (1 - e^{-\frac{\theta}{T}})]$，其中 $\theta = \frac{hv}{k}$ 是振动特征温度。
双原子分子的振动能量可以表示为 ${\varepsilon }_{n}=(n+\dfrac {1}{2})hv$，其中 $n=0,1,2,...$，$h$ 是普朗克常数，$v$ 是振动频率。
步骤 2：计算单个分子的振动配分函数
单个分子的振动配分函数 $Z_1$ 可以表示为 $Z_1 = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta \varepsilon_n}$，其中 $\beta = \frac{1}{kT}$，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。将振动能量代入，得到 $Z_1 = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta (n+\frac{1}{2})hv} = e^{-\frac{1}{2}\beta hv} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta nhv} = \frac{e^{-\frac{1}{2}\beta hv}}{1 - e^{-\beta hv}}$。
步骤 3：计算双原子分子理想气体的振动熵
双原子分子理想气体的振动熵 $S$ 可以表示为 $S = Nk[\ln Z_1 - \frac{\partial \ln Z_1}{\partial \beta}]$，其中 $N$ 是分子数。将 $Z_1$ 代入，得到 $S = Nk[\ln \frac{e^{-\frac{1}{2}\beta hv}}{1 - e^{-\beta hv}} - \frac{\partial}{\partial \beta} \ln \frac{e^{-\frac{1}{2}\beta hv}}{1 - e^{-\beta hv}}]$。化简得到 $S = Nk[\frac{\theta}{T} \frac{1}{e^{\frac{\theta}{T}} - 1} - \ln (1 - e^{-\frac{\theta}{T}})]$，其中 $\theta = \frac{hv}{k}$ 是振动特征温度。