题目
16. (8分)计算int_(L)(e^y+x)dx+(xe^y+2x)dy，其中L为x^2+y^2=2x，ygeq0上从点(2,0)到点(0,0)的上半圆周.
16. (8分)计算$\int_{L}(e^{y}+x)dx+(xe^{y}+2x)dy$，其中L为$x^{2}+y^{2}=2x，y\geq0$上从点(2,0)到点(0,0)的上半圆周.
题目解答
答案
设 $L$ 为上半圆周 $x^2 + y^2 = 2x$，$y \ge 0$，从点 $(2,0)$ 到 $(0,0)$。添加直线段 $L_1$（从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$）形成闭曲线 $C$。由格林公式：
\[
\oint_C (e^y + x) \, dx + (xe^y + 2x) \, dy = \iint_D 2 \, dA = 2 \times \text{半圆面积} = \pi.
\]
计算 $L_1$ 上的积分（$y=0$，$dy=0$）：
\[
\int_{L_1} (e^0 + x) \, dx = \int_0^2 (1 + x) \, dx = 4.
\]
故原积分：
\[
\int_L (e^y + x) \, dx + (xe^y + 2x) \, dy = \pi - 4.
\]
答案：$\boxed{\pi - 4}$
解析
步骤 1：确定积分路径
积分路径 $L$ 是上半圆周 $x^2 + y^2 = 2x$，$y \ge 0$，从点 $(2,0)$ 到 $(0,0)$。为了应用格林公式，我们需要将 $L$ 闭合，因此添加直线段 $L_1$（从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$）形成闭曲线 $C$。
步骤 2：应用格林公式
根据格林公式，对于闭曲线 $C$，有
\[ \oint_C (e^y + x) \, dx + (xe^y + 2x) \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial}{\partial x}(xe^y + 2x) - \frac{\partial}{\partial y}(e^y + x) \right) \, dA. \]
计算偏导数：
\[ \frac{\partial}{\partial x}(xe^y + 2x) = e^y + 2, \]
\[ \frac{\partial}{\partial y}(e^y + x) = e^y. \]
因此，
\[ \frac{\partial}{\partial x}(xe^y + 2x) - \frac{\partial}{\partial y}(e^y + x) = 2. \]
所以，
\[ \oint_C (e^y + x) \, dx + (xe^y + 2x) \, dy = \iint_D 2 \, dA = 2 \times \text{半圆面积} = 2 \times \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \pi. \]
步骤 3：计算直线段 $L_1$ 上的积分
直线段 $L_1$ 从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$，$y=0$，$dy=0$，因此
\[ \int_{L_1} (e^0 + x) \, dx = \int_0^2 (1 + x) \, dx = \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2 + 2 = 4. \]
步骤 4：计算原积分
原积分等于闭曲线 $C$ 上的积分减去直线段 $L_1$ 上的积分：
\[ \int_L (e^y + x) \, dx + (xe^y + 2x) \, dy = \pi - 4. \]
积分路径 $L$ 是上半圆周 $x^2 + y^2 = 2x$，$y \ge 0$，从点 $(2,0)$ 到 $(0,0)$。为了应用格林公式，我们需要将 $L$ 闭合，因此添加直线段 $L_1$（从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$）形成闭曲线 $C$。
步骤 2：应用格林公式
根据格林公式，对于闭曲线 $C$，有
\[ \oint_C (e^y + x) \, dx + (xe^y + 2x) \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial}{\partial x}(xe^y + 2x) - \frac{\partial}{\partial y}(e^y + x) \right) \, dA. \]
计算偏导数：
\[ \frac{\partial}{\partial x}(xe^y + 2x) = e^y + 2, \]
\[ \frac{\partial}{\partial y}(e^y + x) = e^y. \]
因此，
\[ \frac{\partial}{\partial x}(xe^y + 2x) - \frac{\partial}{\partial y}(e^y + x) = 2. \]
所以，
\[ \oint_C (e^y + x) \, dx + (xe^y + 2x) \, dy = \iint_D 2 \, dA = 2 \times \text{半圆面积} = 2 \times \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \pi. \]
步骤 3：计算直线段 $L_1$ 上的积分
直线段 $L_1$ 从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$，$y=0$，$dy=0$，因此
\[ \int_{L_1} (e^0 + x) \, dx = \int_0^2 (1 + x) \, dx = \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2 + 2 = 4. \]
步骤 4：计算原积分
原积分等于闭曲线 $C$ 上的积分减去直线段 $L_1$ 上的积分：
\[ \int_L (e^y + x) \, dx + (xe^y + 2x) \, dy = \pi - 4. \]