题目
一无限长导电圆柱（半径为a），外侧有一同轴的导体圆管（内外半径为b、c），导体圆柱通有电流I_(1)，导体圆管通有反向电流I_(2)。设电流都是均匀的分布在导体的截面上。求圆柱导体内磁感应强度大小为（ ）
一无限长导电圆柱（半径为$a$），外侧有一同轴的导体圆管（内外半径为$b$、$c$），导体圆柱通有电流$I_{1}$，导体圆管通有反向电流$I_{2}$。设电流都是均匀的分布在导体的截面上。求圆柱导体内磁感应强度大小为（ ）
题目解答
答案
根据安培定律，对于 $ r < a $ 的区域，回路内包含的电流为 $ I_{\text{enc}} = I_1 \frac{r^2}{a^2} $。
由 $ B \times 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}} $，可得：
\[
B = \frac{\mu_0 I_1 r}{2\pi a^2}
\]
最终结果表明，$ B $ 随 $ r $ 线性增加，且在 $ r = 0 $ 处为零，在 $ r = a $ 处为 $ \frac{\mu_0 I_1}{2\pi a} $。
答案：$ B = \frac{\mu_0 I_1 r}{2\pi a^2} $。
解析
考查要点：本题主要考查安培环路定理的应用，特别是处理有限电流分布时的电流截面分析能力。
解题核心思路：
- 确定磁场对称性：无限长直导体的磁场具有高度对称性，可选取同心圆形闭合回路计算环量。
- 计算包围电流：根据电流在导体内的分布，确定回路内包含的电流比例。
- 应用安培定律：结合对称性简化积分，建立方程求解磁感应强度$B$。
破题关键点：
- 电流分布的均匀性：导体圆柱的电流$I_1$均匀分布在截面上，需计算半径$r$处以内电流的占比。
- 导体圆管的电流$I_2$不参与贡献：由于$r < a < b$，导体圆管的电流未被闭合回路包围，可忽略其影响。
步骤1：选取闭合回路
取半径为$r$（$r < a$）的同心圆形闭合回路，磁场$\mathbf{B}$在回路上大小相等、方向切线。
步骤2：计算环量
根据安培环路定理：
$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}}$
步骤3：确定包围电流$I_{\text{enc}}$
导体圆柱电流$I_1$均匀分布，截面积为$\pi a^2$。半径$r$处以内电流占比为面积比：
$I_{\text{enc}} = I_1 \cdot \frac{\pi r^2}{\pi a^2} = I_1 \frac{r^2}{a^2}$
步骤4：联立方程求解$B$
将$I_{\text{enc}}$代入安培方程：
$B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_1 \frac{r^2}{a^2}$
解得：
$B = \frac{\mu_0 I_1 r}{2\pi a^2}$