【名师解析】 （1）a．对小球，由平衡条件mg＝ks。 b．设小球偏离平衡位置x时的回复力为F回＝mg﹣k（s+x）＝﹣kx，故小球做简谐运动。 （2）a．重力势能EpG＝﹣mgx 以平衡位置处弹性势能为0，从平衡位置（弹簧伸长量为s）到坐标为x处（弹簧伸长量为s+x），根据弹簧弹力特点做出F﹣x图线如图，弹簧弹力做功为exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)， exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)设x坐标处的弹性势能为Ep弹，由弹力做功与弹性势能变化量的关系可知W弹＝﹣△Ep弹，即 W弹＝﹣（Ep弹﹣0） 得Ep弹＝﹣W弹＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kx2+ksx＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kx2+mgx 重力势能Ep电和弹性势能Ep弹的总和Ep＝EpG+Ep弹＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kx2。 b．小球在运动到平衡位置O点下方距离为exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)时的势能exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx) 小球在振幅处的动能为零，依据能量守恒定律有exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx) 可得，exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)。 由能量守恒定律Ep+Ek＝Epmax+Ekmin，即exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kx2+exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)mv2＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kA2，也即kx2+mv2＝kA2 整理得：exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)。 故v﹣x图是椭圆。 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)故答案为：（1）a．exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)；b．见解析。 （2）a．见解析。b．exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)；见解析。 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)2021年高考物理100考点最新模拟题千题精练 第二部分 机械振动和机械波 专题2.3机械振动（能力篇） 一．填空题 L．某质点做简谐运动，从A点经历时间1s第一次运动到B点，路程为8cm，A、B两位置质点的动能相同，再经相同的时间回到A点。该质点做简谐运动的周期T=_ _s，振幅A= m，以第一次经过最大位移时开始计时，再次回到A点时速度方向为正方向，质点位移x随时间t变化的函数关系为 。 【参考答案】.2 4 x=4cosπtcm。（或exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)） 【命题意图】 本题考查简谐运动、位移x随时间t变化的函数关系及其相关知识点，考查的核心素养是“运动和力”的观点。 【解题思路】根据题述，质点做简谐运动，从A点经历时间1s第一次运动到B点，AB再经过相同的时间回到A点，可知该质点是从最大位移处（A点）出发，其B点为负的最大位移处，其振动周期为T=2s，振幅为A=4cm。以第一次经过最大位移处开始计时，再次回到A点时速度方向为正方向，质点位移x随时间t变化的函数关系为x=Acosexists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)t=4cosπtcm。 2.理论表明：弹簧振子的总机械能与振幅的平方成正比，即E＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)，k为弹簧的劲度系数。如图，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为M的物块，物块在光滑水平面上往复运动。当物块运动到最大位移为A的时刻，把质量为m的物块轻放在其上．两个物块始终一起振动。它们之间动摩擦因数至少为____；经过平衡位置的速度为___；振幅为____。（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)【参考答案】．（1）考査简谐运动的特点。 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)，exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)，A 【名师解析】两个物块一起振动，即加速度相同。系统的最大加速度为 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)而m的加速度由二者之间的最大静摩擦力提供 max＝g，所以exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)； 它们经过平衡位置时，机械能全部转化为动能，故 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)，所以exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx) 由于振动过程中系统机械能守恒，而弹簧振子的总机械能与振幅的平方成正比，所以振幅不变，仍为A。 二．选择题 1. 如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中(　　) exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)A．甲的振幅大于乙的振幅 B．甲的振幅小于乙的振幅 C．甲的最大速度小于乙的最大速度 D．甲的最大速度大于乙的最大速度 【参考答案】　C 【名师解析】细线断开前，两根弹簧上的弹力大小相同，弹簧的伸长量相同，细线断开后，两物块都开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置都在弹簧原长位置，所以它们的振幅相等，选项A、B错误；两物块做简谐运动时，动能和势能相互转化，总机械能保持不变，细线断开前，弹簧的弹性势能就是物块做简谐运动时的机械能，所以振动过程中，它们的机械能相等，到达平衡位置时，它们的弹性势能为零，动能达到最大，因为甲的质量大于乙的质量，所以甲的最大速度小于乙的最大速度，选项C正确、D错误。 2.(多选)弹簧振子在光滑水平面上振动,其位移时间图象如图所示,则下列说法正确的是　　　　。 Aexists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx).10秒内振子的路程为2m B.动能变化的周期为2.0s C.在t=0.5s时,弹簧的弹力最大 D.在t=1.0s时,振子的速度反向 E.振动方程是x=0.10sinπt(m) 【参考答案】ACE　 【名师解析】根据振动图象可知周期T=2.0s,振幅A=10cm,t=10s=5T,一个周期通过的路程为4A,则10s内通过的路程s=5×4A=20×10cm=200cm=2m,故A正确;每次经过平衡位置动能最大,在最大位移处动能为0,在振子完成一个周期的时间内,动能完成2个周期的变化,故动能变化的周期为1s,故B错误;t=0.5s时,振子处于最大位移处,弹簧的弹力最大,故C正确;在t=0.5s到t=1.5s时间内振子沿x负方向运动,在t=0.1s时,振子的速度未反向,故D错误;由振动图象知T=2.0s,角速度ω=exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)rad/s=πrad/s,振动方程x=0.10sinπt(m),故E正确。故选ACE。 三．计算题 1.如图，劲度系数为k的轻质弹簧的下端固定在水平面上，弹簧上端与质量为m的物块相连，开始时物块在O处保持静止。现用竖直向下的外力压物块，弹簧始终在弹性限度内，然后撤去外力，物块开始运动，试证明撤去外力后物块的运动是筒谐振动。 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)【名师解析】 取竖直向下方向为正方向，以O点为原点竖直向下建立Ox坐标系，如图示 设物块在平衡位置O点，弹簧的压缩量为x0，有 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)当物块向下离开O点位移为x时，有 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)解得： exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)满足简谐振动的回复力特征，所以物块的运动为简谐振动 2.如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧的上端固定，下端与小球相连接，小球的质量为m，小球静止于O点。现将小球拉到O点下方距离为A的位置，由静止释放，此后运动过程中始终未超过弹簧的弹性限度。规定平衡位置处为重力势能和弹簧弹性势能的零点。以平衡位置O为坐标原点建立如图所示的竖直向下的一维坐标系Ox．忽略空气阻力的影响。 （1）从运动与相互作用观点出发，解决以下问题： a．求小球处于平衡状态时弹簧相对原长的伸长量s； b．证明小球做简谐运动； （2）从教科书中我们明白了由v﹣t图象求直线运动位移的思想和方法；从机械能的学习，我们理解了重力做功的特点并进而引入重力势能，由此可以得到重力做功与重力势能变化量之间的关系。图象法和比较法是研究物理问题的重要方法，请你借鉴此方法，从功与能量的观点出发，解决以下问题： a．小球运动过程中，小球相对平衡位置的位移为x时，证明系统具有的重力势能EpG和弹性势能Ep弹的总和Ep的表达式为Ep＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)； b．求小球在振动过程中，运动到平衡位置O点下方距离为exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)时的动能Ek．并根据小球运动过程中速度v与相对平衡位置的位移x的关系式，画出小球运动的全过程中速度随振动位移变化的v﹣x图象。 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)【名师解析】 （1）a．对小球，由平衡条件mg＝ks。 b．设小球偏离平衡位置x时的回复力为F回＝mg﹣k（s+x）＝﹣kx，故小球做简谐运动。 （2）a．重力势能EpG＝﹣mgx 以平衡位置处弹性势能为0，从平衡位置（弹簧伸长量为s）到坐标为x处（弹簧伸长量为s+x），根据弹簧弹力特点做出F﹣x图线如图，弹簧弹力做功为exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)， exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)设x坐标处的弹性势能为Ep弹，由弹力做功与弹性势能变化量的关系可知W弹＝﹣△Ep弹，即 W弹＝﹣（Ep弹﹣0） 得Ep弹＝﹣W弹＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kx2+ksx＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kx2+mgx 重力势能Ep电和弹性势能Ep弹的总和Ep＝EpG+Ep弹＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kx2。 b．小球在运动到平衡位置O点下方距离为exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)时的势能exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx) 小球在振幅处的动能为零，依据能量守恒定律有exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx) 可得，exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)。 由能量守恒定律Ep+Ek＝Epmax+Ekmin，即exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kx2+exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)mv2＝exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)kA2，也即kx2+mv2＝kA2 整理得：exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)。 故v﹣x图是椭圆。 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)故答案为：（1）a．exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)；b．见解析。 （2）a．见解析。b．exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)；见解析。 3.有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度。 exists y=dfrac (ks+k(s+x))(2)x=-(dfrac (1)(2)k(x)^2+ksx)(1)求振子的振幅和周期； (2)在图中作出该振子的位移—时间图象； (3)写出振子的振动方程。