题目
氦氖激光器所发红光沿 x轴正向传播，它的波长为 lambda = 632.8 mathrm(nm)。已知它的光子 x坐标的不确定量为 400 mathrm(km)。则利用不确定关系 Delta xDelta p_x geq h可以求得谱线的宽度 Delta lambda为A. 1.58times10^-12mathrm(nm)。B. 1.00times10^-9mathrm(nm)。C. 1.58times10^-6mathrm(nm)。D. 1.23times10^-2mathrm(nm)。
氦氖激光器所发红光沿 $x$轴正向传播，它的波长为 $\lambda = 632.8 \mathrm{nm}$。已知它的光子 $x$坐标的不确定量为 $400 \mathrm{km}$。则利用不确定关系 $\Delta x\Delta p_x \geq h$可以求得谱线的宽度 $\Delta \lambda$为
A. $1.58\times10^{-12}\mathrm{nm}$。
B. $1.00\times10^{-9}\mathrm{nm}$。
C. $1.58\times10^{-6}\mathrm{nm}$。
D. $1.23\times10^{-2}\mathrm{nm}$。
题目解答
答案
B. $1.00\times10^{-9}\mathrm{nm}$。
解析
步骤 1：确定光子动量的不确定量
根据不确定关系 $\Delta x\Delta p_x \geq h$，其中 $\Delta x$ 是光子 $x$ 坐标的不确定量，$\Delta p_x$ 是光子动量的不确定量，$h$ 是普朗克常数。已知 $\Delta x = 400 \mathrm{km} = 4 \times 10^8 \mathrm{m}$，$h = 6.626 \times 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}$。因此，可以求得光子动量的不确定量 $\Delta p_x$。
步骤 2：计算光子动量的不确定量
将已知的 $\Delta x$ 和 $h$ 值代入不确定关系中，得到 $\Delta p_x \geq \frac{h}{\Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}}{4 \times 10^8 \mathrm{m}} = 1.6565 \times 10^{-42} \mathrm{kg \cdot m/s}$。
步骤 3：计算谱线的宽度
光子的动量 $p$ 与波长 $\lambda$ 之间的关系为 $p = \frac{h}{\lambda}$。因此，光子动量的不确定量 $\Delta p_x$ 与波长的不确定量 $\Delta \lambda$ 之间的关系为 $\Delta p_x = \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda$。将已知的 $\Delta p_x$ 和 $\lambda$ 值代入，得到 $\Delta \lambda = \frac{\Delta p_x \lambda^2}{h} = \frac{1.6565 \times 10^{-42} \mathrm{kg \cdot m/s} \times (632.8 \times 10^{-9} \mathrm{m})^2}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}} = 1.00 \times 10^{-9} \mathrm{nm}$。
根据不确定关系 $\Delta x\Delta p_x \geq h$，其中 $\Delta x$ 是光子 $x$ 坐标的不确定量，$\Delta p_x$ 是光子动量的不确定量，$h$ 是普朗克常数。已知 $\Delta x = 400 \mathrm{km} = 4 \times 10^8 \mathrm{m}$，$h = 6.626 \times 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}$。因此，可以求得光子动量的不确定量 $\Delta p_x$。
步骤 2：计算光子动量的不确定量
将已知的 $\Delta x$ 和 $h$ 值代入不确定关系中，得到 $\Delta p_x \geq \frac{h}{\Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}}{4 \times 10^8 \mathrm{m}} = 1.6565 \times 10^{-42} \mathrm{kg \cdot m/s}$。
步骤 3：计算谱线的宽度
光子的动量 $p$ 与波长 $\lambda$ 之间的关系为 $p = \frac{h}{\lambda}$。因此，光子动量的不确定量 $\Delta p_x$ 与波长的不确定量 $\Delta \lambda$ 之间的关系为 $\Delta p_x = \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda$。将已知的 $\Delta p_x$ 和 $\lambda$ 值代入，得到 $\Delta \lambda = \frac{\Delta p_x \lambda^2}{h} = \frac{1.6565 \times 10^{-42} \mathrm{kg \cdot m/s} \times (632.8 \times 10^{-9} \mathrm{m})^2}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}} = 1.00 \times 10^{-9} \mathrm{nm}$。