题目
质点在半径为0.4(m)的圆形轨道上自静止开始做匀角加速转动，alpha=0.2(rad/s)^2，经过（ ）(s)切向加速度与法向加速度大小相等。
质点在半径为$0.4\text{m}$的圆形轨道上自静止开始做匀角加速转动，$\alpha=0.2\text{rad/s}^2$，经过（ ）$\text{s}$切向加速度与法向加速度大小相等。
题目解答
答案
根据题意，切向加速度 $ a_t = r \alpha $，法向加速度 $ a_n = r \omega^2 = r (\alpha t)^2 $。
令 $ a_t = a_n $，得：
\[
r \alpha = r \alpha^2 t^2 \implies t = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{0.2}} = \sqrt{5} \, \text{s}
\]
最终结果为：
\[
t = \sqrt{5} \, \text{s}
\]
答案：$ \sqrt{5} \, \text{s} $。
解析
本题考查质点做匀角加速转动时切向加速度和法向加速度的计算，以及根据两者大小相等的条件求解时间。解题思路如下：
- 首先明确切向加速度和法向加速度的计算公式。
- 切向加速度公式：对于做圆周运动的质点，切向加速度$a_t$与角加速度$\alpha$和半径$r$的关系为$a_t = r\alpha$。这是因为切向加速度描述的是质点线速度大小的变化率，而线速度$v = r\omega$（$\omega$为角速度），对时间求导可得$a_t=\frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega}{dt}=r\alpha$。
- 法向加速度公式：法向加速度$a_n$用于描述质点线速度方向的变化，其大小为$a_n = r\omega^2$。又因为质点做匀角加速转动，初角速度$\omega_0 = 0$，根据匀变速直线运动的角速度公式$\omega=\omega_0+\alpha t$，可得$\omega=\alpha t$，所以$a_n = r(\alpha t)^2$。
- 然后根据切向加速度与法向加速度大小相等这一条件列出等式。
- 令$a_t = a_n$，即$r\alpha = r(\alpha t)^2$。
- 最后求解上述等式得到时间$t$。
- 对$r\alpha = r(\alpha t)^2$进行化简，因为$r\neq0$，$\alpha\neq0$，等式两边同时除以$r\alpha$，得到$1 = \alpha t^2$，进一步变形为$t^2=\frac{1}{\alpha}$。
- 已知$\alpha = 0.2\text{rad/s}^2$，则$t=\sqrt{\frac{1}{\alpha}}=\sqrt{\frac{1}{0.2}}=\sqrt{5}\text{s}$。