17.真空管的线度为 ^-2m, 其中真空度为 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_7aee97c02a07189f6eacfb48c213b478.jpg.33times (10)^-3Pa, 设空气分子的有效直径为 times (10)^-10m,-|||-求27℃时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率.

考查要点：本题主要考查理想气体状态方程、平均自由程、平均碰撞频率的计算，以及实际条件下物理量的修正。

解题核心思路：

1. 单位体积分子数：利用理想气体状态方程 $n = \dfrac{p}{kT}$ 直接计算。
2. 平均自由程：理论公式 $\lambda = \dfrac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}$，但需与容器线度比较，取较小值。
3. 平均碰撞频率：公式 $\overline{z} = \dfrac{\overline{v}}{\lambda}$，其中 $\overline{v}$ 由气体分子平均速率公式计算。

破题关键点：

• 容器尺寸对平均自由程的影响：若理论平均自由程远大于容器线度，则实际平均自由程由容器尺寸决定。
• 单位统一与常数选择：注意玻尔兹曼常数 $k$、气体常数 $R$ 的单位，以及空气分子量 $M$ 的取值。

1. 单位体积内的空气分子数

根据理想气体状态方程：
$n = \dfrac{p}{kT}$
代入数据：
$n = \dfrac{1.33 \times 10^{-3}}{1.38 \times 10^{-23} \times 300} \approx 3.2 \times 10^{17} \, \text{m}^{-3}$

2. 平均自由程

理论计算：
$\lambda_0 = \dfrac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n} = \dfrac{1}{\sqrt{2}\pi (3 \times 10^{-10})^2 \times 3.2 \times 10^{17}} \approx 7.82 \, \text{m}$
实际修正：
由于 $\lambda_0 \gg$ 容器线度 $L = 10^{-2} \, \text{m}$，分子主要与管壁碰撞，故实际平均自由程为：
$\overline{\lambda} = L = 10^{-2} \, \text{m}$

3. 平均碰撞频率

分子平均速率：
$\overline{v} = \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}} = \sqrt{\dfrac{8 \times 8.31 \times 300}{3.14 \times 29 \times 10^{-3}}} \approx 420 \, \text{m/s}$
平均碰撞频率：
$\overline{z} = \dfrac{\overline{v}}{\lambda} = \dfrac{420}{10^{-2}} \approx 4.68 \times 10^{4} \, \text{s}^{-1}$