题目
若有一波长 λ=600nm 的单色平行光，垂直入射到缝宽 a=0.6mm 的单缝上，缝后有一焦距 f=40cm 的透镜。若在屏上P点观察到一明纹，距中央明纹的距离为 x=1.4mm，则对P点而言狭缝处波面可分成几个半波带（ ）A. 3；B. 5；C. 7；D. 9。
若有一波长 λ=600nm 的单色平行光，垂直入射到缝宽 a=0.6mm 的单缝上，缝后有一焦距 f=40cm 的透镜。若在屏上P点观察到一明纹，距中央明纹的距离为 x=1.4mm，则对P点而言狭缝处波面可分成几个半波带（ ）
A. 3；
B. 5；
C. 7；
D. 9。
题目解答
答案
C. 7；
解析
步骤 1：确定单缝衍射的明纹条件
单缝衍射的明纹条件是：\(a \sin \theta = m \lambda\)，其中 \(a\) 是缝宽，\(\theta\) 是衍射角，\(m\) 是明纹的级数，\(\lambda\) 是波长。对于小角度，\(\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{f}\)，其中 \(x\) 是明纹到中央的距离，\(f\) 是透镜的焦距。
步骤 2：计算衍射角
根据题目给出的数据，波长 \(\lambda = 600 \, \text{nm} = 600 \times 10^{-9} \, \text{m}\)，缝宽 \(a = 0.6 \, \text{mm} = 0.6 \times 10^{-3} \, \text{m}\)，焦距 \(f = 40 \, \text{cm} = 0.4 \, \text{m}\)，明纹到中央的距离 \(x = 1.4 \, \text{mm} = 1.4 \times 10^{-3} \, \text{m}\)。代入公式 \(\sin \theta \approx \frac{x}{f}\) 得到 \(\sin \theta \approx \frac{1.4 \times 10^{-3}}{0.4} = 3.5 \times 10^{-3}\)。
步骤 3：计算明纹级数
根据单缝衍射的明纹条件 \(a \sin \theta = m \lambda\)，代入已知数据得到 \(0.6 \times 10^{-3} \times 3.5 \times 10^{-3} = m \times 600 \times 10^{-9}\)，解得 \(m = 3.5\)。由于明纹级数 \(m\) 必须是整数，所以 \(m = 3\)。
步骤 4：计算半波带数
单缝衍射的明纹条件 \(a \sin \theta = m \lambda\) 表示缝宽 \(a\) 被分成 \(m\) 个波长 \(\lambda\) 的长度，每个波长 \(\lambda\) 对应两个半波带，因此缝宽 \(a\) 被分成 \(2m\) 个半波带。所以，缝宽 \(a\) 被分成 \(2 \times 3 = 6\) 个半波带，但因为明纹条件是 \(m\) 个波长，所以实际上缝宽 \(a\) 被分成 \(2m + 1 = 7\) 个半波带。
单缝衍射的明纹条件是：\(a \sin \theta = m \lambda\)，其中 \(a\) 是缝宽，\(\theta\) 是衍射角，\(m\) 是明纹的级数，\(\lambda\) 是波长。对于小角度，\(\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{f}\)，其中 \(x\) 是明纹到中央的距离，\(f\) 是透镜的焦距。
步骤 2：计算衍射角
根据题目给出的数据，波长 \(\lambda = 600 \, \text{nm} = 600 \times 10^{-9} \, \text{m}\)，缝宽 \(a = 0.6 \, \text{mm} = 0.6 \times 10^{-3} \, \text{m}\)，焦距 \(f = 40 \, \text{cm} = 0.4 \, \text{m}\)，明纹到中央的距离 \(x = 1.4 \, \text{mm} = 1.4 \times 10^{-3} \, \text{m}\)。代入公式 \(\sin \theta \approx \frac{x}{f}\) 得到 \(\sin \theta \approx \frac{1.4 \times 10^{-3}}{0.4} = 3.5 \times 10^{-3}\)。
步骤 3：计算明纹级数
根据单缝衍射的明纹条件 \(a \sin \theta = m \lambda\)，代入已知数据得到 \(0.6 \times 10^{-3} \times 3.5 \times 10^{-3} = m \times 600 \times 10^{-9}\)，解得 \(m = 3.5\)。由于明纹级数 \(m\) 必须是整数，所以 \(m = 3\)。
步骤 4：计算半波带数
单缝衍射的明纹条件 \(a \sin \theta = m \lambda\) 表示缝宽 \(a\) 被分成 \(m\) 个波长 \(\lambda\) 的长度，每个波长 \(\lambda\) 对应两个半波带，因此缝宽 \(a\) 被分成 \(2m\) 个半波带。所以，缝宽 \(a\) 被分成 \(2 \times 3 = 6\) 个半波带，但因为明纹条件是 \(m\) 个波长，所以实际上缝宽 \(a\) 被分成 \(2m + 1 = 7\) 个半波带。