例3两平行长直导线相距 =40cm, 每根导线载有电流 _(1)=(I)_(2)=20A, 如图所示.求:-|||-(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度:-|||-(2)通过图中矩形线框面积的磁通量.( _(1)=(r)_(3)=10cm, . =25cm).-|||-d-|||-I1 square A l-|||-I2-|||-r1 r2 r3-|||-例3图
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查无限长直导线的磁场计算及磁通量的积分计算。
解题思路：
- 第（1）问：利用安培环路定理计算单根导线的磁场，结合磁场叠加原理求总磁场。
- 第（2）问：将矩形线框划分为无数面元，对每个面元上的磁场强度进行积分，计算总磁通量。
关键点：
- 磁场方向由右手螺旋定则确定，两导线电流方向相同导致磁场方向相同。
- 磁通量积分需正确表达磁场随位置变化的函数，并确定积分上下限。
第（1）题
步骤1：计算单根导线的磁场
根据无限长直导线的磁场公式：
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
其中，$r = \frac{d}{2} = 0.2\,\text{m}$，$I_1 = I_2 = 20\,\text{A}$。
步骤2：叠加总磁场
两导线在点A的磁场方向相同（均垂直纸面向外），总磁场为：
$B = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi \cdot \frac{d}{2}} + \frac{\mu_0 I_2}{2\pi \cdot \frac{d}{2}} = \frac{\mu_0 (I_1 + I_2)}{\pi d}$
代入$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{T·m/A}$，得：
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 40}{\pi \cdot 0.4} = 4 \times 10^{-5}\,\text{T}$
第（2）题
步骤1：建立积分模型
取面元$dS = l \cdot dr$（$l = 0.25\,\text{m}$为线框长度），面元处的磁场为两导线磁场之和：
$B(r) = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} + \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d - r)}$
步骤2：积分求磁通量
积分范围为$r_1 = 0.1\,\text{m}$到$r_2 = 0.3\,\text{m}$（线框宽度为$0.2\,\text{m}$），总磁通量为：
$\Phi = \int_{r_1}^{r_2} B(r) \cdot l \, dr = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \int_{0.1}^{0.3} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{0.4 - r} \right) dr$
步骤3：计算积分
积分结果为：
$\int \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{0.4 - r} \right) dr = \ln \left( \frac{r}{0.4 - r} \right) \Big|_{0.1}^{0.3} = 2\ln 3$
代入数值计算得：
$\Phi = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 20 \cdot 0.25}{2\pi} \cdot 2\ln 3 \approx 2.20 \times 10^{-6}\,\text{Wb}$