题目
一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm, 试求它每面所受的压力.
一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm, 试求它每面所受的压力.
题目解答
答案
解 建立坐标系如图.
腰AC的方程为
, 压力元素为
,
所求压力为
(克)=1.65(牛).
解析
步骤 1：建立坐标系
建立直角坐标系，使x轴与水面平行，y轴垂直于水面，原点O位于等腰三角形的顶点，这样等腰三角形的底边与水面平行，且顶点离水面3cm。
步骤 2：确定腰AC的方程
等腰三角形的底边长为8cm，高为6cm，因此，腰AC的方程为$y=\dfrac {2}{3}x$，其中x为底边到顶点的距离，y为高度。
步骤 3：计算压力元素
压力元素$dP$是由于水的静压力作用在微小面积$dA$上的力，$dA$为微小面积，等于底边长度乘以微小高度$dx$，即$dA=2x\cdot dx$。由于水的静压力与深度成正比，深度为$x+3$，所以$dP=(x+3)\cdot 2\cdot \dfrac {2}{3}x\cdot dx=\dfrac {4}{3}x(x+3)dx$。
步骤 4：计算总压力
总压力$P$是压力元素$dP$在底边长度范围内的积分，即$P={\int }_{0}^{6}\dfrac {4}{3}x(x+3)dx$。计算积分得到$P=\dfrac {4}{3}{(\dfrac {1}{3}{x}^{3}+\dfrac {3}{2}{x}^{2})}^{6}=168$(克)=1.65(牛)。
建立直角坐标系，使x轴与水面平行，y轴垂直于水面，原点O位于等腰三角形的顶点，这样等腰三角形的底边与水面平行，且顶点离水面3cm。
步骤 2：确定腰AC的方程
等腰三角形的底边长为8cm，高为6cm，因此，腰AC的方程为$y=\dfrac {2}{3}x$，其中x为底边到顶点的距离，y为高度。
步骤 3：计算压力元素
压力元素$dP$是由于水的静压力作用在微小面积$dA$上的力，$dA$为微小面积，等于底边长度乘以微小高度$dx$，即$dA=2x\cdot dx$。由于水的静压力与深度成正比，深度为$x+3$，所以$dP=(x+3)\cdot 2\cdot \dfrac {2}{3}x\cdot dx=\dfrac {4}{3}x(x+3)dx$。
步骤 4：计算总压力
总压力$P$是压力元素$dP$在底边长度范围内的积分，即$P={\int }_{0}^{6}\dfrac {4}{3}x(x+3)dx$。计算积分得到$P=\dfrac {4}{3}{(\dfrac {1}{3}{x}^{3}+\dfrac {3}{2}{x}^{2})}^{6}=168$(克)=1.65(牛)。